Ten materiał to praktyczna ściąga z wybranych, najważniejszych wzorów matematycznych dla ucznia szkoły podstawowej i początku średniej. Oprócz samych wzorów znajdziesz tu wyjaśnienia, kiedy i jak ich używać oraz proste przykłady. Dzięki temu nie tylko „przepiszesz” wzór, ale faktycznie zrozumiesz, co on oznacza.
1. Liczby i działania – podstawowe własności
1.1. Kolejność wykonywania działań
W zadaniach rachunkowych bardzo ważna jest kolejność działań. Obowiązuje zasada:
\[ (\text{nawiasy}) \rightarrow \text{potęgi i pierwiastki} \rightarrow \text{mnożenie i dzielenie} \rightarrow \text{dodawanie i odejmowanie} \]
Czyli najpierw obliczamy to, co w nawiasach, potem potęgi i pierwiastki, dalej mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej), a na końcu dodawanie i odejmowanie.
Przykład:
\[ 2 + 3 \cdot (4 + 1) = 2 + 3 \cdot 5 = 2 + 15 = 17 \]
1.2. Własności działań (przybliżona ściąga)
- Łączność dodawania: \((a + b) + c = a + (b + c)\)
- Łączność mnożenia: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)
- Przemienność dodawania: \(a + b = b + a\)
- Przemienność mnożenia: \(a \cdot b = b \cdot a\)
- Rozdzielność mnożenia względem dodawania: \(a \cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c\)
W praktyce rozdzielność wykorzystujesz np. tak:
\[ 7 \cdot 12 = 7 \cdot (10 + 2) = 7 \cdot 10 + 7 \cdot 2 = 70 + 14 = 84 \]
2. Potęgi i pierwiastki
2.1. Potęgi – podstawowe wzory
Potęga to wielokrotne mnożenie tej samej liczby:
\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ czynników}} \]
Najważniejsze własności potęg o tym samym podstawie:
- \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
- \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), dla \(a \neq 0\)
- \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
- \(a^1 = a\)
- \(a^0 = 1\), dla \(a \neq 0\)
Przykład:
\[ 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128 \]
2.2. Pierwiastki
Pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania. Najczęściej spotkasz pierwiastek drugiego stopnia:
\[ \sqrt{a} = b \quad \Leftrightarrow \quad b^2 = a \]
- \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) (dla \(a, b \ge 0\))
- \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) (dla \(a \ge 0, b > 0\))
Przykład:
\[ \sqrt{36} = 6, \quad bo \quad 6^2 = 36 \]
3. Proporcje i procenty
3.1. Proporcja
Proporcja to równość dwóch ułamków:
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad (b \neq 0, d \neq 0) \]
Najważniejsza własność proporcji (mnożenie „na krzyż”):
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \Leftrightarrow \quad a \cdot d = b \cdot c \]
Przykład:
\[ \frac{x}{3} = \frac{10}{15} \Rightarrow x \cdot 15 = 3 \cdot 10 \Rightarrow 15x = 30 \Rightarrow x = 2 \]
3.2. Procenty – podstawowe wzory
1% to jedna setna całości:
\[ 1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01 \]
Jeśli chcesz obliczyć, ile to \(p\%\) z liczby \(a\):
\[ p\% \text{ z } a = \frac{p}{100} \cdot a \]
Przykład: Ile to 15% z 200?
\[ 15\% \text{ z } 200 = \frac{15}{100} \cdot 200 = 0{,}15 \cdot 200 = 30 \]
4. Wyrażenia algebraiczne i wzory skróconego mnożenia
4.1. Co to jest wyrażenie algebraiczne?
Wyrażenie algebraiczne to zapis z użyciem liczb, liter (zmiennych) i działań. Np. \(2x + 3\), \(5a^2 – 4a + 7\).
Podstawiając za literę konkretną liczbę, możesz policzyć wartość wyrażenia.
Przykład: Oblicz wartość \(2x + 3\) dla \(x = 4\).
\[ 2x + 3 = 2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11 \]
4.2. Wzory skróconego mnożenia
To bardzo przydatne i często używane wzory, które ułatwiają rachunki i przekształcenia:
- Kwadrat sumy:
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] - Kwadrat różnicy:
\[ (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \] - Różnica kwadratów:
\[ a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) \]
Przykład (zastosowanie wzoru):
Oblicz \((x + 5)^2\).
\[ (x + 5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25 \]
5. Równania liniowe z jedną niewiadomą
5.1. Ogólna postać równania liniowego
Równanie liniowe z jedną niewiadomą \(x\) ma postać:
\[ ax + b = 0, \quad a \neq 0 \]
Rozwiązaniem jest liczba:
\[ x = -\frac{b}{a} \]
5.2. Jak rozwiązywać równanie krok po kroku?
Przykład: Rozwiąż równanie \(3x – 9 = 0\).
- Przenosimy wyraz wolny na drugą stronę:
\[ 3x = 9 \] - Dzielimy obie strony równania przez 3:
\[ x = \frac{9}{3} = 3 \]
6. Funkcja liniowa
6.1. Wzór funkcji liniowej
Funkcja liniowa ma postać:
\[ y = ax + b \]
- \(a\) – nazywamy współczynnikiem kierunkowym (określa „nachylenie” prostej)
- \(b\) – wyraz wolny (miejsce przecięcia prostej z osią \(y\))
6.2. Jak narysować wykres funkcji liniowej?
- Wybierz kilka wartości \(x\) (np. -2, 0, 2).
- Oblicz odpowiadające im wartości \(y\) z wzoru.
- Zaznacz punkty \((x, y)\) w układzie współrzędnych.
- Połącz punkty prostą.
Przykład: Narysuj funkcję \(y = 2x + 1\).
- Dla \(x = -1\): \(y = 2 \cdot (-1) + 1 = -1\) – punkt \((-1, -1)\)
- Dla \(x = 0\): \(y = 1\) – punkt \((0, 1)\)
- Dla \(x = 1\): \(y = 3\) – punkt \((1, 3)\)
6.3. Prosty, responsywny wykres funkcji liniowej
Poniżej przykład wykresu funkcji \(y = 2x + 1\) narysowanego w Canvas. Wykres skaluje się do szerokości ekranu (np. telefonu).
7. Funkcja kwadratowa
7.1. Wzór funkcji kwadratowej
Typowa funkcja kwadratowa ma postać:
\[ y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0 \]
Jej wykresem jest parabola. Najważniejsze elementy:
- miejsca zerowe – punkty, w których wykres przecina oś \(x\) (tam, gdzie \(y = 0\))
- wierzchołek paraboli
7.2. Miejsca zerowe (rozwiązywanie równania kwadratowego)
Miejsca zerowe znajdujemy, rozwiązując równanie:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
Najczęściej używamy delty:
- \[ \Delta = b^2 - 4ac \]
- Jeśli \(\Delta > 0\), są dwa różne rozwiązania:
\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \] - Jeśli \(\Delta = 0\), jest jedno rozwiązanie:
\[ x_0 = \frac{-b}{2a} \] - Jeśli \(\Delta < 0\), brak rozwiązań rzeczywistych.
7.3. Przykład obliczeń z deltą
Rozwiąż równanie \(x^2 - 5x + 6 = 0\).
- Odczytujemy: \(a = 1, b = -5, c = 6\).
- Liczymy deltę:
\[ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \] - \(\Delta > 0\), więc są dwa rozwiązania:
\[ x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2\cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2 \]
\[ x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2\cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3 \]
7.4. Prosty kalkulator równań kwadratowych
Poniższy kalkulator pomaga obliczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej \(ax^2 + bx + c = 0\). Wpisz wartości \(a\), \(b\) i \(c\), a skrypt policzy deltę i rozwiązania (jeśli istnieją).
8. Geometria płaska – obwody i pola
8.1. Najważniejsze figury i ich wzory
| Figura | Obwód | Pole | Objaśnienia |
|---|---|---|---|
| Kwadrat | \(O = 4a\) | \(P = a^2\) | \(a\) – długość boku |
| Prostokąt | \(O = 2a + 2b\) | \(P = a \cdot b\) | \(a, b\) – długości boków |
| Trójkąt | \(O = a + b + c\) | \(P = \frac{1}{2} a h_a\) | \(a, b, c\) – boki; \(h_a\) – wysokość opuszczona na bok \(a\) |
| Równoległobok | \(O = 2a + 2b\) | \(P = a \cdot h_a\) | \(a, b\) – boki; \(h_a\) – wysokość na bok \(a\) |
| Trapez | \(O = a + b + c + d\) | \(P = \frac{(a + b)}{2} \cdot h\) | \(a, b\) – podstawy; \(c, d\) – ramiona; \(h\) – wysokość |
| Koło | \(O = 2\pi r\) | \(P = \pi r^2\) | \(r\) – promień |
8.2. Przykłady zastosowania wzorów na pole
Przykład 1 (prostokąt): Oblicz pole prostokąta o bokach 5 cm i 8 cm.
\[ P = a \cdot b = 5 \,\text{cm} \cdot 8 \,\text{cm} = 40 \,\text{cm}^2 \]
Przykład 2 (koło): Oblicz pole koła o promieniu 3 cm (przyjmij \(\pi \approx 3{,}14\)).
\[ P = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 3^2 = 3{,}14 \cdot 9 \approx 28{,}26 \,\text{cm}^2 \]
9. Geometria przestrzenna – objętości i pola powierzchni
9.1. Najważniejsze bryły
| Bryła | Objętość | Pole powierzchni całkowitej | Objaśnienia |
|---|---|---|---|
| Sześcian | \(V = a^3\) | \(S = 6a^2\) | \(a\) – długość krawędzi |
| Prostopadłościan | \(V = a \cdot b \cdot c\) | \(S = 2(ab + ac + bc)\) | \(a, b, c\) – krawędzie |
| Graniastosłup | \(V = P_p \cdot H\) | \(S = 2P_p + P_b\) | \(P_p\) – pole podstawy; \(H\) – wysokość; \(P_b\) – pole ścian bocznych |
| Walec | \(V = \pi r^2 H\) | \(S = 2\pi r^2 + 2\pi rH\) | \(r\) – promień podstawy; \(H\) – wysokość |
| Stożek | \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 H\) | \(S = \pi r^2 + \pi r l\) | \(r\) – promień podstawy; \(H\) – wysokość; \(l\) – tworząca |
| Kula | \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) | \(S = 4\pi r^2\) | \(r\) – promień |
9.2. Przykład obliczania objętości
Przykład (prostopadłościan): Oblicz objętość prostopadłościanu o krawędziach 2 cm, 3 cm i 5 cm.
\[ V = a \cdot b \cdot c = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \,\text{cm}^3 \]
10. Jak zapamiętać wzory matematyczne?
- Nie ucz się w oderwaniu od zadań. Zawsze po nauce wzoru rozwiąż kilka prostych przykładów.
- Porządkuj wzory tematycznie. Np. osobna kartka na „funkcje”, osobna na „geometrię płaską”.
- Twórz własne ściągi. Przepisując wzory w swoim stylu, lepiej je zapamiętujesz.
- Zwracaj uwagę na podobieństwa. Np. pole prostokąta i objętość prostopadłościanu są podobne: dodany jest tylko trzeci wymiar.
- Ucz się przez tłumaczenie. Spróbuj wytłumaczyć koledze/koleżance, skąd pochodzi dany wzór – wtedy sam rozumiesz go lepiej.
Ta ściąga zawiera wybrane, najczęściej potrzebne w szkole wzory matematyczne. W trakcie nauki warto do niej wracać i jednocześnie ćwiczyć zadania, aby wzory przestały być „magiczne”, a stały się naturalnym narzędziem do rozwiązywania problemów.
