Logarytmy pojawiają się w matematyce już w liceum i często budzą sporo pytań. W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym są logarytmy, skąd bierze się ich definicja, jakie mają własności oraz jak rozwiązywać podstawowe zadania z logarytmami. Znajdziesz tu również prosty kalkulator logarytmów oraz wykres funkcji logarytmicznej, które pomogą Ci lepiej zrozumieć ten temat.

Co to jest logarytm? – intuicja

Wyobraź sobie pytanie:

Do jakiej potęgi trzeba podnieść liczbę 2, aby otrzymać 8?

Widzimy, że \(2^3 = 8\), więc odpowiedź to 3.

Logarytm dokładnie to robi: odpowiada na pytanie, jaką potęgą trzeba podnieść daną liczbę (nazywaną podstawą), aby otrzymać daną liczbę (nazywaną argumentem logarytmu).

Definicja logarytmu

Niech \(a > 0\), \(a \neq 1\) oraz \(x > 0\). Definiujemy:

\[\log_a x = y \quad \Leftrightarrow \quad a^y = x\]

czyli:

• \(\log_a x\) oznacza logarytm o podstawie \(a\) z liczby \(x\),
• wynik logarytmu to taka liczba \(y\), że potęga \(a^y\) daje nam \(x\).

Przykłady:

• \(\log_2 8 = 3\), bo \(2^3 = 8\),
• \(\log_3 27 = 3\), bo \(3^3 = 27\),
• \(\log_{10} 1000 = 3\), bo \(10^3 = 1000\).

Warunki istnienia logarytmu

Aby logarytm \(\log_a x\) miał sens, muszą być spełnione dwa warunki:

• podstawa: \(a > 0\) i \(a \neq 1\),
• argument: \(x > 0\).

Dlaczego?

• Jeśli \(a \le 0\), potęgi zachowują się „dziwnie”, pojawiają się liczby zespolone – w szkolnej matematyce tego nie rozważamy.
• Jeśli \(a = 1\), to \(1^y = 1\) dla każdego \(y\); nie da się uzyskać innych liczb niż 1, więc nie ma sensu pytać o \(\log_1 x\).
• Jeśli \(x \le 0\), to dla dodatnich \(a\) potęga \(a^y\) nigdy nie da liczby ujemnej ani zera, więc nie da się rozwiązać równania \(a^y = x\).

Podstawowe własności logarytmów

Znajomość kilku kluczowych własności logarytmów pozwala uprościć wyrażenia i rozwiązywać równania.

Logarytm z liczby 1

\[\log_a 1 = 0\]

Dlaczego? Ponieważ \(a^0 = 1\) dla każdego \(a > 0, a \neq 1\).

Logarytm z podstawy

\[\log_a a = 1\]

Bo \(a^1 = a\).

Logarytm potęgi podstawy

\[\log_a a^k = k\]

bo \(a^k = a^k\) – więc do jakiej potęgi trzeba podnieść \(a\), by otrzymać \(a^k\)? Odpowiedź: do potęgi \(k\).

Wzory na logarytmy – tabela podstawowych własności

Własność	Wzór	Komentarz
Logarytm iloczynu	\(\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\)	Iloczyn przechodzi w sumę logarytmów.
Logarytm ilorazu	\(\log_a \left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a x – \log_a y\)	Iloraz przechodzi w różnicę logarytmów.
Logarytm potęgi	\(\log_a (x^k) = k \log_a x\)	Wykładnik potęgi można „ściągnąć” przed logarytm.
Zmiana podstawy	\(\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}\)	Pozwala obliczać logarytmy przy pomocy innej podstawy \(b\).
Logarytm odwrotności	\(\log_a \left(\dfrac{1}{x}\right) = -\log_a x\)	Wynika z logarytmu ilorazu i własności potęg.

Przykłady zastosowania własności logarytmów

Przykład 1 – logarytm iloczynu

Oblicz \(\log_2(8 \cdot 4)\).

Krok 1: Zastosuj wzór na logarytm iloczynu:

\[\log_2(8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4\]

Krok 2: Oblicz logarytmy z liczb będących potęgami 2:

\(\log_2 8 = 3\), bo \(2^3 = 8\),

\(\log_2 4 = 2\), bo \(2^2 = 4\).

Krok 3: Dodaj wyniki:

\[\log_2(8 \cdot 4) = 3 + 2 = 5\]

Sprawdzenie: \(8 \cdot 4 = 32\), a \(2^5 = 32\), więc \(\log_2 32 = 5\). Zgadza się.

Przykład 2 – logarytm potęgi

Oblicz \(\log_3 81\).

Zauważ, że \(81 = 3^4\), więc:

\[\log_3 81 = \log_3(3^4) = 4\]

Można też napisać przy użyciu wzoru na logarytm potęgi:

\[\log_3(3^4) = 4 \log_3 3 = 4 \cdot 1 = 4\]

Przykład 3 – logarytm ilorazu

Oblicz \(\log_5 \dfrac{125}{5}\).

\[\log_5 \left(\dfrac{125}{5}\right) = \log_5 125 – \log_5 5\]

\(\log_5 125 = 3\), bo \(125 = 5^3\),

\(\log_5 5 = 1\).

\[\log_5 \left(\dfrac{125}{5}\right) = 3 – 1 = 2\]

Sprawdzenie: \(\dfrac{125}{5} = 25\) i \(5^2 = 25\), więc \(\log_5 25 = 2\).

Jak obliczać logarytmy w praktyce?

1. Gdy argument jest potęgą podstawy

Jeśli możesz zapisać argument jako potęgę podstawy, obliczanie jest bardzo proste:

\[\log_a a^k = k\]

Przykłady:

• \(\log_2 16 = \log_2(2^4) = 4\),
• \(\log_7 49 = \log_7(7^2) = 2\),
• \(\log_3 1 = \log_3(3^0) = 0\).

2. Gdy liczby nie są „ładnymi” potęgami

Często jednak pojawiają się logarytmy, których nie da się łatwo policzyć „w pamięci”, np. \(\log_2 5\) albo \(\log_3 10\). Wtedy korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy:

\[\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}\]

Najczęściej wybieramy jako \(b\):

• 10 – logarytm dziesiętny (często zapisuje się go jako \(\log x\)),
• \(e\) – logarytm naturalny (oznaczenie \(\ln x\)).

Przykład:

\[\log_2 5 = \dfrac{\log 5}{\log 2} \quad \text{lub} \quad \log_2 5 = \dfrac{\ln 5}{\ln 2}\]

Takie wyrażenia zwykle obliczamy kalkulatorem.

Prosty kalkulator logarytmów (zmiana podstawy)

Poniżej znajdziesz prosty kalkulator w JavaScript, który oblicza \(\log_a x\) dla podanych przez Ciebie: podstawy \(a\) i argumentu \(x\), korzystając z zależności \(\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}\).

Typowe zadania z logarytmów – przykłady krok po kroku

Zadanie 1 – proste obliczenia

Oblicz:

1. \(\log_2 32\)
2. \(\log_5 125\)
3. \(\log_{10} 0{,}01\)

Rozwiązanie:

1. \(32 = 2^5\), więc \(\log_2 32 = 5\).
2. \(125 = 5^3\), więc \(\log_5 125 = 3\).
3. \(0{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}\), więc \(\log_{10} 0{,}01 = \log_{10} 10^{-2} = -2\).

Zadanie 2 – wykorzystanie własności logarytmów

Oblicz \(\log_3 27 + \log_3 9\).

Krok 1. Zauważ, że masz sumę logarytmów o tej samej podstawie, więc możesz użyć wzoru:

\[\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)\]

\[\log_3 27 + \log_3 9 = \log_3(27 \cdot 9)\]

Krok 2. Policz iloczyn: \(27 \cdot 9 = 243\).

\[\log_3 27 + \log_3 9 = \log_3 243\]

Krok 3. Rozpoznaj potęgę 3: \(243 = 3^5\), więc:

\[\log_3 243 = 5\]

Odpowiedź: \(\log_3 27 + \log_3 9 = 5\).

Zadanie 3 – logarytm ilorazu

Oblicz \(\log_2 64 – \log_2 4\).

Krok 1. Różnica logarytmów o tej samej podstawie:

\[\log_2 64 – \log_2 4 = \log_2\left(\dfrac{64}{4}\right)\]

\[\dfrac{64}{4} = 16\]

\[\log_2 64 – \log_2 4 = \log_2 16\]

Krok 2. \(16 = 2^4\), więc:

\[\log_2 16 = 4\]

Odpowiedź: \(\log_2 64 – \log_2 4 = 4\).

Zadanie 4 – logarytm potęgi

Uprość wyrażenie: \(\log_5 25^3\).

Krok 1. Skorzystaj ze wzoru na logarytm potęgi:

\[\log_5(25^3) = 3 \log_5 25\]

Krok 2. Zauważ, że \(25 = 5^2\), więc:

\[\log_5 25 = \log_5(5^2) = 2\]

Krok 3. Podstaw:

\[3 \log_5 25 = 3 \cdot 2 = 6\]

Odpowiedź: \(\log_5 25^3 = 6\).

Zadanie 5 – równanie logarytmiczne (proste)

Rozwiąż równanie: \(\log_3 x = 2\).

Chcemy znaleźć taką liczbę \(x\), że:

\[\log_3 x = 2 \quad \Leftrightarrow \quad 3^2 = x\]

\[x = 9\]

Sprawdzenie: \(\log_3 9 = 2\), bo \(3^2 = 9\).

Zadanie 6 – równanie logarytmiczne (z wykorzystaniem definicji)

Rozwiąż równanie: \(\log_2(x – 1) = 3\).

Krok 1. Korzystamy z definicji:

\[\log_2(x – 1) = 3 \quad \Leftrightarrow \quad 2^3 = x – 1\]

\[8 = x – 1\]

\[x = 9\]

Krok 2 – sprawdzenie dziedziny. W logarytmie argument musi być dodatni: \(x – 1 > 0 \Rightarrow x > 1\). Nasze rozwiązanie \(x = 9\) spełnia ten warunek, więc jest poprawne.

Funkcja logarytmiczna i jej wykres

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci:

\[f(x) = \log_a x\]

gdzie \(a > 0\) i \(a \neq 1\).

Dziedzina i zbiór wartości

• Dziedzina: \(x > 0\) (logarytmujemy tylko liczby dodatnie),
• Wartości: wszystkie liczby rzeczywiste (\(\mathbb{R}\)).

Jak wygląda wykres funkcji logarytmicznej?

• Dla \(a > 1\) funkcja \(\log_a x\) jest rosnąca.
• Dla \(0 < a < 1\) funkcja \(\log_a x\) jest malejąca.
• Wykres przechodzi przez punkt \((1, 0)\), bo \(\log_a 1 = 0\).
• Wykres nigdy nie przecina osi \(Oy\) (bo nie można logarytmować liczb niedodatnich).

Przykładowy wykres funkcji \(y = \log_{10} x\)

Poniżej znajduje się prosty, responsywny wykres funkcji \(y = \log_{10} x\), narysowany za pomocą biblioteki Chart.js. Zobaczysz, że funkcja rośnie bardzo wolno – zwłaszcza dla dużych wartości \(x\).

Najczęstsze błędy przy logarytmach

• Zapominanie o dziedzinie – np. logarytmowanie liczby ujemnej lub zera: \(\log_2(-4)\), \(\log_3 0\) – to nie ma sensu w liczbach rzeczywistych.
• Mylenie podstaw – przy sumowaniu/różnicowaniu logarytmów podstawy muszą być takie same: \(\log_2 4 + \log_3 9\) nie da się zsumować jednym wzorem.
• Zła zmiana podstawy – np. błędne zapisanie \(\log_2 5 = \dfrac{\log 2}{\log 5}\) (powinno być odwrotnie: \(\dfrac{\log 5}{\log 2}\)).
• Pominięcie sprawdzenia dziedziny przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych – zawsze trzeba sprawdzić, czy argument logarytmu jest dodatni.

Podsumowanie – najważniejsze informacje

• Logarytm \(\log_a x\) to odpowiedź na pytanie: „do jakiej potęgi trzeba podnieść \(a\), aby otrzymać \(x\)?”
• Warunki: \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(x > 0\).
• Najważniejsze wzory:
  • \(\log_a 1 = 0\), \(\log_a a = 1\), \(\log_a a^k = k\),
  • \(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\),
  • \(\log_a \left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a x – \log_a y\),
  • \(\log_a(x^k) = k \log_a x\),
  • \(\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}\) (zmiana podstawy).
• Funkcja logarytmiczna \(f(x) = \log_a x\) ma dziedzinę \(x > 0\) i jest rosnąca dla \(a > 1\), malejąca dla \(0 < a < 1\).
• W ćwiczeniach z logarytmów najważniejsze są: rozumienie definicji, pilnowanie dziedziny i poprawne stosowanie wzorów.