W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest przekątna prostokąta, jak wygląda wzór na jej obliczanie oraz jak stosować go w praktyce. Po przeczytaniu powinieneś umieć samodzielnie obliczyć długość przekątnej prostokąta w typowych zadaniach szkolnych.
Co to jest prostokąt i jego przekątna?
Prostokąt to czworokąt, który ma:
- cztery kąty proste (czyli po \(90^\circ\)),
- przeciwległe boki równej długości,
- dwie przekątne tej samej długości.
Przekątna prostokąta to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki prostokąta. Każdy prostokąt ma dwie przekątne, które są równe i przecinają się w swoim środku.
Aby było to bardziej wyobrażalne, spójrz na prosty rysunek prostokąta z zaznaczonymi bokami i przekątną:
Oznaczenia i zapis matematyczny
Standardowo przyjmujemy oznaczenia:
- \(a\) – długość jednego boku prostokąta,
- \(b\) – długość drugiego boku prostokąta,
- \(d\) – długość przekątnej prostokąta.
Jeżeli narysujemy przekątną w prostokącie, to podzieli ona prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. W każdym z tych trójkątów:
- przyprostokątnymi są boki prostokąta: \(a\) i \(b\),
- przeciwprostokątną jest przekątna: \(d\).
Skąd bierze się wzór na przekątną prostokąta?
Podstawą jest twierdzenie Pitagorasa, które mówi, że w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \(a\), \(b\) i przeciwprostokątnej \(c\):
\[ c^2 = a^2 + b^2. \]
W naszym przypadku rolę przeciwprostokątnej pełni przekątna prostokąta, czyli \(d\). Dlatego możemy zapisać:
\[ d^2 = a^2 + b^2. \]
Aby uzyskać wzór na samą długość przekątnej, bierzemy pierwiastek kwadratowy z obu stron równania:
\[ d = \sqrt{a^2 + b^2}. \]
To jest właśnie podstawowy wzór na przekątną prostokąta:
\[\boxed{d = \sqrt{a^2 + b^2}}\]
Jak obliczyć przekątną prostokąta krok po kroku?
Przećwiczmy obliczanie przekątnej prostokąta na konkretnych przykładach.
Przykład 1 – proste liczby
Dane:
- długość boku \(a = 3\ \text{cm}\),
- długość boku \(b = 4\ \text{cm}\).
Zadanie: Oblicz długość przekątnej prostokąta.
Krok 1: Zapisujemy wzór
\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Krok 2: Podstawiamy dane
\[ d = \sqrt{3^2 + 4^2} \]
Krok 3: Obliczamy kwadraty liczb
- \(3^2 = 9\),
- \(4^2 = 16\).
\[ d = \sqrt{9 + 16} \]
Krok 4: Dodajemy wyniki
\[ d = \sqrt{25} \]
Krok 5: Obliczamy pierwiastek
\[ d = 5\ \text{cm} \]
Wniosek: przekątna prostokąta o bokach 3 cm i 4 cm ma długość 5 cm.
Przykład 2 – liczby większe, wynik z przybliżeniem
Dane:
- \(a = 5\ \text{cm}\),
- \(b = 12\ \text{cm}\).
Zadanie: Oblicz długość przekątnej prostokąta, zaokrąglając wynik do jednego miejsca po przecinku.
Krok 1:
\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} \]
Krok 2:
- \(5^2 = 25\),
- \(12^2 = 144\).
\[ d = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} \]
\[ d = 13\ \text{cm} \]
Tutaj pierwiastek wyszedł dokładnie. Zobaczmy teraz przykład, gdzie wynik nie będzie liczbą całkowitą.
Przykład 3 – wynik niecałkowity
Dane:
- \(a = 6\ \text{cm}\),
- \(b = 8\ \text{cm}\).
Krok 1:
\[ d = \sqrt{6^2 + 8^2} \]
Krok 2:
- \(6^2 = 36\),
- \(8^2 = 64\).
\[ d = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} \]
\[ d = 10\ \text{cm} \]
Spróbujmy jeszcze jednego przykładu z wynikiem niecałkowitym:
Przykład 4 – wynik z przybliżeniem
Dane:
- \(a = 7\ \text{cm}\),
- \(b = 10\ \text{cm}\).
Obliczenia:
\[ d = \sqrt{7^2 + 10^2} = \sqrt{49 + 100} = \sqrt{149} \]
Teraz potrzebny jest przybliżony wynik:
\[ d \approx 12{,}2\ \text{cm} \]
(w zależności od kalkulatora możesz otrzymać np. \(12{,}206…\ \text{cm}\), zaokrąglając do jednego miejsca po przecinku masz \(12{,}2\ \text{cm}\)).
Podsumowanie wzoru na przekątną prostokąta
Dla prostokąta o bokach \(a\) i \(b\):
- wzór na przekątną: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2}, \]
- wzór odwrotny – na bok, gdy znamy przekątną i drugi bok, np. na \(a\): \[ a = \sqrt{d^2 – b^2}, \] pod warunkiem, że \(d > b\),
- analogicznie na drugi bok \(b\): \[ b = \sqrt{d^2 – a^2}. \]
Przekątna prostokąta – typowe zastosowania
Wzór na przekątną prostokąta pojawia się w wielu praktycznych sytuacjach:
- Obliczanie przekątnej ekranu (telewizorów, monitorów, smartfonów) – producenci najczęściej podają rozmiar w calach właśnie jako długość przekątnej.
- Wyznaczanie długości deski lub listwy, która ma zostać ułożona po skosie w prostokątnym oknie, ramie lub konstrukcji.
- Sprawdzanie prostokątności pomieszczenia – mierząc przekątne pokoju, można sprawdzić, czy ściany są „proste” (przekątne równe).
- Zadania z geometrii analitycznej – gdy prostokąt jest narysowany w układzie współrzędnych, przekątna to często odległość między dwoma punktami.
Tabela przykładowych obliczeń przekątnej prostokąta
W tabeli poniżej zestawiono kilka popularnych par długości boków prostokąta oraz odpowiadające im długości przekątnej.
| Bok \(a\) [cm] | Bok \(b\) [cm] | Obliczenie | Przekątna \(d\) [cm] |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25}\) | 5 |
| 5 | 12 | \(\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169}\) | 13 |
| 6 | 8 | \(\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100}\) | 10 |
| 7 | 10 | \(\sqrt{7^2 + 10^2} = \sqrt{149}\) | \(\approx 12{,}2\) |
| 9 | 12 | \(\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225}\) | 15 |
Najczęstsze błędy przy obliczaniu przekątnej prostokąta
Podczas nauki wzoru na przekątną prostokąta często pojawiają się podobne pomyłki. Warto je poznać, aby ich unikać.
- Dodawanie boków zamiast sumy kwadratów
Zły zapis: \[ d = a + b \quad (\text{błędne!}) \]
Poprawny zapis: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2}. \] - Niewyciąganie pierwiastka
Niektórzy kończą na etapie: \[ d^2 = a^2 + b^2 \] i zapominają, że trzeba jeszcze obliczyć pierwiastek: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2}. \] - Mylenie kwadratu liczby z podwojeniem
Zdarza się, że \(a^2\) jest mylone z \(2a\). Pamiętaj: \[ a^2 = a \cdot a, \] a nie \(a + a\). - Brak jednostek
Wynik powinien mieć taką samą jednostkę długości jak boki prostokąta (np. cm, m). Jeśli boki są w centymetrach, przekątna również będzie w centymetrach.
Prosty kalkulator przekątnej prostokąta
Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pomoże Ci obliczyć przekątną prostokąta. Wpisz długości boków \(a\) i \(b\), a skrypt obliczy \(d\) korzystając ze wzoru \(\displaystyle d = \sqrt{a^2 + b^2}\).
Jak samodzielnie rozwiązywać zadania?
Aby dobrze opanować obliczanie przekątnej prostokąta, warto stosować zawsze ten sam schemat:
- Odczytaj dane – wypisz, ile wynoszą boki prostokąta: \(a\), \(b\).
- Zapisz wzór – \(\displaystyle d = \sqrt{a^2 + b^2}\).
- Podstaw liczby – wstaw konkretne wartości zamiast \(a\) i \(b\).
- Oblicz kwadraty – policz \(a^2\) i \(b^2\).
- Dodaj wyniki – znajdź sumę \(a^2 + b^2\).
- Wyciągnij pierwiastek – oblicz \(\sqrt{a^2 + b^2}\), korzystając z kalkulatora, jeśli trzeba.
- Podaj wynik z jednostką – np. \(d = 10\ \text{cm}\) lub \(d \approx 12{,}2\ \text{cm}\).
Jeśli zastosujesz ten schemat krok po kroku, obliczanie przekątnej prostokąta stanie się dla Ciebie rutyną, a zadania z tego tematu nie będą sprawiały trudności.
