Wzory na wierzchołek funkcji kwadratowej – podstawy

Funkcja kwadratowa towarzyszy nam w wielu dziedzinach nauki i życia codziennego – od projektowania mostów, przez analizę rynku, aż po optymalizację procesów produkcyjnych. Jednym z najważniejszych elementów tej funkcji jest jej wierzchołek, który pozwala określić wartość maksymalną lub minimalną funkcji. Znajomość wzorów na wierzchołek funkcji kwadratowej i umiejętność ich zastosowania to podstawowe narzędzia, które przydają się zarówno w szkole, jak i w praktycznych zastosowaniach.

Wierzchołek paraboli to punkt, w którym funkcja kwadratowa osiąga swoją wartość ekstremalną – minimum dla funkcji o współczynniku a > 0 lub maksimum dla funkcji o współczynniku a < 0. Znajomość położenia wierzchołka pozwala na szybkie określenie przebiegu funkcji oraz rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych.

Wzory na współrzędne wierzchołka paraboli

Funkcję kwadratową możemy zapisać w postaci ogólnej jako f(x) = ax² + bx + c, gdzie a ≠ 0. Aby znaleźć wierzchołek paraboli, korzystamy z dwóch podstawowych wzorów:

Współrzędna x wierzchołka: p = -b/(2a)
Współrzędna y wierzchołka: q = f(p) = a·p² + b·p + c

Alternatywnie, współrzędną y możemy obliczyć bezpośrednio ze wzoru:
q = c – b²/(4a)

Warto zapamiętać, że wierzchołek paraboli to punkt W(p,q).

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Istnieje również inny sposób zapisu funkcji kwadratowej, który bezpośrednio wskazuje położenie wierzchołka. Jest to tzw. postać kanoniczna:

f(x) = a(x-p)² + q

gdzie (p,q) to współrzędne wierzchołka paraboli.

Przekształcenie funkcji z postaci ogólnej do kanonicznej pozwala na szybkie odczytanie wierzchołka bez konieczności stosowania dodatkowych wzorów. Jeśli mamy funkcję w postaci kanonicznej, wierzchołek odczytujemy bezpośrednio jako punkt W(p,q).

Praktyczne zastosowania wzorów na wierzchołek

Znajomość wzorów na wierzchołek funkcji kwadratowej ma wiele praktycznych zastosowań. Przyjrzyjmy się kilku przykładom.

Przykład 1: Znajdowanie wierzchołka paraboli

Mamy funkcję f(x) = 2x² – 8x + 7. Znajdźmy współrzędne jej wierzchołka.

Krok 1: Identyfikujemy współczynniki a = 2, b = -8, c = 7.
Krok 2: Obliczamy współrzędną x wierzchołka: p = -b/(2a) = -(-8)/(2·2) = 8/4 = 2.
Krok 3: Obliczamy współrzędną y wierzchołka: q = f(p) = f(2) = 2·2² – 8·2 + 7 = 2·4 – 16 + 7 = 8 – 16 + 7 = -1.

Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie W(2,-1).

Przykład 2: Określanie wartości ekstremalnych

Firma produkuje x sztuk towaru dziennie. Koszt produkcji wyraża się wzorem K(x) = 0,5x² – 20x + 300 (w złotych). Ile sztuk towaru należy wyprodukować, aby koszt był najmniejszy?

Ponieważ a = 0,5 > 0, funkcja kosztu ma minimum w wierzchołku paraboli. Obliczamy:
p = -b/(2a) = -(-20)/(2·0,5) = 20/1 = 20

Zatem koszt produkcji będzie najmniejszy przy produkcji 20 sztuk towaru dziennie.

Przekształcanie funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej

Umiejętność przekształcania funkcji kwadratowej z postaci ogólnej do kanonicznej jest niezwykle przydatna, ponieważ pozwala na bezpośrednie odczytanie współrzędnych wierzchołka.

Aby przekształcić funkcję f(x) = ax² + bx + c do postaci kanonicznej f(x) = a(x-p)² + q, wykonujemy następujące kroki:

1. Wydzielamy a przed nawiasem: f(x) = a(x² + (b/a)x) + c
2. Dopełniamy do kwadratu wyrażenie w nawiasie: f(x) = a(x² + (b/a)x + (b/(2a))² – (b/(2a))²) + c
3. Przekształcamy: f(x) = a((x + b/(2a))² – (b/(2a))²) + c
4. Upraszczamy: f(x) = a(x – (-b/(2a)))² + c – a(b/(2a))²
5. Podstawiamy p = -b/(2a) i q = c – b²/(4a): f(x) = a(x-p)² + q

Ciekawostka: Przekształcenie do postaci kanonicznej jest matematycznym odpowiednikiem „dopełniania do kwadratu”, techniki znanej już w starożytnej Babilonii około 2000 lat p.n.e.

Przykład przekształcenia

Przekształćmy funkcję f(x) = 3x² + 12x + 5 do postaci kanonicznej.

1. Wydzielamy a przed nawiasem: f(x) = 3(x² + 4x) + 5
2. Dopełniamy do kwadratu: f(x) = 3(x² + 4x + 4 – 4) + 5 = 3((x+2)² – 4) + 5
3. Upraszczamy: f(x) = 3(x+2)² – 12 + 5 = 3(x+2)² – 7

Zatem f(x) = 3(x+2)² – 7, co oznacza, że wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie W(-2,-7).

Rozwiązywanie problemów optymalizacyjnych

Jednym z najważniejszych praktycznych zastosowań wzorów na wierzchołek funkcji kwadratowej jest rozwiązywanie problemów optymalizacyjnych, gdzie szukamy wartości maksymalnej lub minimalnej.

Przykład z fizyki: rzut ukośny

W rzucie ukośnym wysokość h ciała w zależności od czasu t wyraża się wzorem h(t) = -4,9t² + vₒsin(α)·t + hₒ, gdzie vₒ to prędkość początkowa, α to kąt rzutu, a hₒ to wysokość początkowa.

Aby znaleźć maksymalną wysokość, jaką osiągnie ciało, oraz czas, po którym to nastąpi, znajdujemy wierzchołek paraboli:

t_max = -b/(2a) = -vₒsin(α)/(-9,8) = vₒsin(α)/9,8
h_max = h(t_max) = -4,9(vₒsin(α)/9,8)² + vₒsin(α)·(vₒsin(α)/9,8) + hₒ

Po uproszczeniu otrzymujemy: h_max = hₒ + (vₒsin(α))²/(2·9,8)

Przykład z ekonomii: maksymalizacja zysku

Firma ustaliła, że przychód ze sprzedaży x produktów wynosi R(x) = 100x – 0,5x², a koszt produkcji to C(x) = 20x + 500. Zysk firmy to różnica między przychodem a kosztem:

P(x) = R(x) – C(x) = 100x – 0,5x² – 20x – 500 = -0,5x² + 80x – 500.

Aby zmaksymalizować zysk, znajdujemy wierzchołek paraboli (a = -0,5 < 0, więc funkcja ma maksimum): x_opt = -b/(2a) = -80/(-1) = 80 Maksymalny zysk wynosi P(80) = -0,5·80² + 80·80 – 500 = -0,5·6400 + 6400 – 500 = -3200 + 6400 – 500 = 2700.

Typowe błędy przy stosowaniu wzorów na wierzchołek

Przy korzystaniu z wzorów na wierzchołek funkcji kwadratowej łatwo o pomyłki. Oto najczęstsze błędy i sposoby ich uniknięcia:

• Pomylenie znaku przy współczynniku b – pamiętaj, że we wzorze p = -b/(2a) występuje minus przed b.
• Nieprawidłowa interpretacja wierzchołka – jeśli a > 0, wierzchołek to minimum funkcji; jeśli a < 0, wierzchołek to maksimum.
• Błędy w obliczeniach współrzędnej y – zawsze sprawdzaj wynik, podstawiając obliczoną wartość p do wzoru na funkcję: q = f(p).
• Zapominanie o warunku a ≠ 0 – jeśli a = 0, funkcja nie jest kwadratowa, lecz liniowa, i nie ma wierzchołka.

Funkcje kwadratowe i ich wierzchołki są nie tylko elementem szkolnych zadań, ale także potężnym narzędziem do modelowania rzeczywistych problemów. Opanowanie wzorów na wierzchołek paraboli pozwala na sprawne rozwiązywanie wielu praktycznych zagadnień optymalizacyjnych, z którymi możemy spotkać się w różnych dziedzinach życia.