Tabela trygonometryczna to jedno z najważniejszych narzędzi w szkolnej matematyce. Pozwala szybko odczytywać wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus, tangens, cotangens) dla najczęściej używanych kątów. W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym są funkcje trygonometryczne, jak powstaje tabela trygonometryczna, jak z niej korzystać oraz pokażemy proste przykłady obliczeń.
Podstawowe pojęcia: kąt i miary kątów
Zanim przejdziemy do tabeli trygonometrycznej, przypomnijmy najważniejsze pojęcia.
Miara kąta w stopniach
W szkole najczęściej używa się stopni. Pełny obrót to:
\[ 360^\circ \]
Najważniejsze kąty, które pojawiają się w tabeli trygonometrycznej, to między innymi:
- \(0^\circ\)
- \(30^\circ\)
- \(45^\circ\)
- \(60^\circ\)
- \(90^\circ\)
- \(120^\circ, 135^\circ, 150^\circ, 180^\circ\) itd. (przy rozszerzonej tabeli)
Miara kąta w radianach
W matematyce wyższej często używa się radianów. W praktyce szkolnej warto znać przynajmniej odpowiedniki najważniejszych kątów:
- \(0^\circ = 0\)
- \(30^\circ = \frac{\pi}{6}\)
- \(45^\circ = \frac{\pi}{4}\)
- \(60^\circ = \frac{\pi}{3}\)
- \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\)
- \(180^\circ = \pi\)
- \(360^\circ = 2\pi\)
W tym artykule będziemy głównie używać stopni, bo to z nimi najczęściej pracuje się w szkole podczas korzystania z tabel trygonometrycznych.
Definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym
Wyobraź sobie trójkąt prostokątny, w którym jeden z kątów ostrych ma miarę \(\alpha\). Boki oznaczymy tak:
- przeciwprostokątna – bok naprzeciw kąta prostego (najdłuższy bok)
- przyprostokątna przy kącie \(\alpha\) – bok leżący przy kącie \(\alpha\)
- przyprostokątna naprzeciw kąta \(\alpha\) – bok leżący naprzeciw kąta \(\alpha\)
Definicje funkcji trygonometrycznych są następujące:
Sinus kąta \(\alpha\):
\[ \sin\alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}} \]
Cosinus kąta \(\alpha\):
\[ \cos\alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy kącie } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}} \]
Tangens kąta \(\alpha\):
\[ \tan\alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta } \alpha}{\text{przyprostokątna przy kącie } \alpha} \]
Cotangens kąta \(\alpha\):
\[ \cot\alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy kącie } \alpha}{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta } \alpha} \]
W praktyce najczęściej korzysta się z zależności między funkcjami:
\[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \]
Najważniejsze zależności między sinusem a cosinusem
Warto zapamiętać kilka podstawowych wzorów, które pomagają rozumieć wartości w tabeli trygonometrycznej:
Tożsamość Pitagorasa
\[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \]
Oznacza to, że jeśli znasz sinus kąta, możesz obliczyć cosinus (i odwrotnie).
Relacje między funkcjami
\[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} \]
Podstawowa tabela trygonometryczna (kąty ostre w trójkącie prostokątnym)
Najczęściej w szkole korzysta się z tabeli trygonometrycznej dla kątów: \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\). Poniżej przedstawiamy uproszczoną tabelę z dokładnymi wartościami (w postaci ułamków i pierwiastków), a nie przybliżeniami dziesiętnymi.
Tabela wartości \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) i \(\cot\)
| Kąt | \(\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\tan\alpha\) | \(\cot\alpha\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(\text{nie istnieje}\) |
| \(30^\circ\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(\sqrt{3}\) |
| \(45^\circ\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) | \(1\) |
| \(60^\circ\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) | \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(90^\circ\) | \(1\) | \(0\) | \(\text{nie istnieje}\) | \(0\) |
W wielu podręcznikach spotkasz też zapis przybliżony (do dwóch-trzech miejsc po przecinku). Warto jednak znać dokładne wartości z pierwiastkami, bo pozwala to rozwiązywać zadania bez kalkulatora.
Jak zapamiętać wartości z tabeli trygonometrycznej?
Prosty „trik” na sinusy
Możesz zapamiętać sinusy kątów \(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\) w bardzo prosty sposób, korzystając z wzoru:
\[ \sin\alpha = \sqrt{\frac{n}{4}} \]
gdzie \(n\) to kolejne liczby: 0, 1, 2, 3, 4.
| Kąt | \(n\) | \(\sin\alpha = \sqrt{\frac{n}{4}}\) | Po uproszczeniu |
|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | 0 | \(\sqrt{\frac{0}{4}}\) | \(0\) |
| \(30^\circ\) | 1 | \(\sqrt{\frac{1}{4}}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(45^\circ\) | 2 | \(\sqrt{\frac{2}{4}}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) |
| \(60^\circ\) | 3 | \(\sqrt{\frac{3}{4}}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) |
| \(90^\circ\) | 4 | \(\sqrt{\frac{4}{4}}\) | \(1\) |
Cosinus z sinusa
Cosinus możesz otrzymać, odwracając kolejność wartości sinusa (dla kątów \(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\)). Zauważ:
- \(\cos 0^\circ = 1\), a \(\sin 90^\circ = 1\)
- \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), a \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), a \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Ogólnie:
\[ \cos\alpha = \sin(90^\circ – \alpha) \]
Rozszerzona tabela trygonometryczna – kąty większe niż \(90^\circ\)
Gdy poznasz okrąg jednostkowy (okrąg o promieniu 1 w układzie współrzędnych), możesz zdefiniować funkcje trygonometryczne dla dowolnych kątów (nie tylko w trójkącie prostokątnym). Do podstawowej tabeli dodaje się wtedy wartości dla kątów z innych ćwiartek, np. \(120^\circ, 135^\circ, 150^\circ, 180^\circ\) itd.
Znaki funkcji w poszczególnych ćwiartkach
Kąt mierzony jest od dodatniej półosi osi \(Ox\), przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Wtedy:
- I ćwiartka: \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)
- II ćwiartka: \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)
- III ćwiartka: \(180^\circ < \alpha < 270^\circ\)
- IV ćwiartka: \(270^\circ < \alpha < 360^\circ\)
Znaki funkcji w ćwiartkach:
| Ćwiartka | Zakres kątów | \(\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\tan\alpha\) | \(\cot\alpha\) |
|---|---|---|---|---|---|
| I | \(0^\circ\) – \(90^\circ\) | + | + | + | + |
| II | \(90^\circ\) – \(180^\circ\) | + | – | – | – |
| III | \(180^\circ\) – \(270^\circ\) | – | – | + | + |
| IV | \(270^\circ\) – \(360^\circ\) | – | + | – | – |
Dzięki temu, znając wartości funkcji w I ćwiartce (czyli w podstawowej tabeli), możesz wyznaczyć wartości dla kątów w innych ćwiartkach, modyfikując znak funkcji.
Przykład: \(\sin 150^\circ\)
- Zauważ, że \(150^\circ = 180^\circ – 30^\circ\).
- Wiemy, że \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).
- W II ćwiartce sinus jest dodatni.
Zatem:
\[ \sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \]
Przykład: \(\cos 150^\circ\)
- Znów: \(150^\circ = 180^\circ – 30^\circ\).
- \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
- W II ćwiartce cosinus jest ujemny.
\[ \cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Jak korzystać z tabeli trygonometrycznej?
1. Odczytywanie wartości funkcji dla danego kąta
Załóżmy, że chcesz poznać wartość \(\sin 60^\circ\).
- Znajdź w tabeli wiersz odpowiadający kątowi \(60^\circ\).
- Odczytaj wartość w kolumnie \(\sin\alpha\).
Widzisz, że:
\[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
2. Znajdowanie kąta na podstawie wartości funkcji
Czasem zadanie jest odwrócone: znasz wartość funkcji i szukasz kąta. Na przykład:
Znajdź kąt \(\alpha\), dla którego \(\sin\alpha = \frac{1}{2}\), a \(\alpha\) jest kątem ostrym.
- Przeglądasz kolumnę \(\sin\alpha\) w tabeli.
- Znajdujesz \(\frac{1}{2}\).
- Patrzysz na odpowiadający mu kąt: to \(30^\circ\).
Zatem:
\[ \alpha = 30^\circ \]
Przykłady zastosowania tabeli trygonometrycznej
Przykład 1: Oblicz długość boku trójkąta prostokątnego
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę \(30^\circ\), a przeciwprostokątna ma długość \(10\). Oblicz długość przyprostokątnej naprzeciw kąta \(30^\circ\).
Oznaczmy:
- kąt: \(\alpha = 30^\circ\)
- przeciwprostokątna: \(c = 10\)
- szukana przyprostokątna naprzeciw kąta \(\alpha\): \(a\)
Korzystamy z definicji sinusa:
\[ \sin\alpha = \frac{a}{c} \]
Wiemy, że:
\[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \]
Podstawiamy:
\[ \frac{1}{2} = \frac{a}{10} \]
Stąd:
\[ a = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \]
Odpowiedź: długość szukanego boku wynosi 5.
Przykład 2: Oblicz wysokość drzewa
Stoisz w pewnej odległości od drzewa. Mierzysz kąt między ziemią a linią wzroku do czubka drzewa i otrzymujesz \(45^\circ\). Odległość od drzewa wynosi \(8\) m. Jaka jest wysokość drzewa? Załóżmy, że oczy obserwatora są na wysokości \(0\) m (dla uproszczenia).
- kąt: \(\alpha = 45^\circ\)
- odległość od drzewa (przyprostokątna przy kącie): \(b = 8\) m
- wysokość drzewa (naprzeciw kąta): \(h\)
Korzystamy z funkcji tangens:
\[ \tan\alpha = \frac{h}{b} \]
Wiemy, że:
\[ \tan 45^\circ = 1 \]
Podstawiamy:
\[ 1 = \frac{h}{8} \Rightarrow h = 8 \text{ m} \]
Prosty kalkulator trygonometryczny (stopnie)
Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pozwala obliczyć wartości \(\sin\), \(\cos\) i \(\tan\) dla kąta podanego w stopniach. Jest to przydatne, aby porównać wyniki z tabelą trygonometryczną lub sprawdzić swoje obliczenia.
Kalkulator wartości funkcji trygonometrycznych
Prosty wykres funkcji sinus (0°–360°)
Żeby lepiej zrozumieć, skąd biorą się znaki i wartości w tabeli trygonometrycznej, warto spojrzeć na wykres funkcji sinus. Poniższy wykres pokazuje \(\sin\alpha\) dla kątów od \(0^\circ\) do \(360^\circ\). Widzisz, że:
- od \(0^\circ\) do \(180^\circ\) wartości są dodatnie,
- od \(180^\circ\) do \(360^\circ\) wartości są ujemne,
- \(\sin 0^\circ = 0\), \(\sin 90^\circ = 1\), \(\sin 180^\circ = 0\), \(\sin 270^\circ = -1\), \(\sin 360^\circ = 0\).
Podsumowanie – jak korzystać z tabeli trygonometrycznej w praktyce?
- Naucz się dokładnych wartości dla kątów \(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\) – to podstawa większości zadań.
- Pamiętaj, że \(\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)\), co ułatwia zapamiętywanie cosinusów.
- Do kątów większych niż \(90^\circ\) używaj zasad dotyczących znaków funkcji w poszczególnych ćwiartkach.
- Korzystaj z kalkulatora (takiego jak powyżej) do sprawdzania swoich wyników, ale najpierw spróbuj obliczyć wartości samodzielnie z tabeli.
- Pamiętaj o podstawowych wzorach: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) oraz \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).
Znajomość tabeli trygonometrycznej i umiejętność jej używania to klucz do rozwiązywania wielu zadań z geometrii, trygonometrii i fizyki. Ćwicz odczytywanie wartości i rozwiązywanie prostych zadań, a korzystanie z tabeli stanie się dla Ciebie naturalne.
