„Długość odcinka” to jedna z najczęściej używanych wielkości w geometrii i w zadaniach z układem współrzędnych. W tym materiale nauczysz się, jak metodycznie obliczać długość odcinka w różnych sytuacjach: na prostej liczbowej, w układzie współrzędnych (2D), a także jak rozpoznawać typowe zastosowania (przekątne, trójkąty, odległości punktów).

1) Co to jest długość odcinka?

Odcinek to część prostej ograniczona dwoma punktami (końcami). Jego długość to liczba dodatnia mówiąca, jak daleko leżą od siebie końce odcinka.

W zależności od tego, jak opisane są punkty, korzystamy z różnych wzorów:

• na prostej liczbowej: różnica wartości (z modułem),
• w układzie współrzędnych: wzór wynikający z twierdzenia Pitagorasa,
• w szczególnych figurach (np. kwadrat): wzory na przekątne i boki.

2) Długość odcinka na prostej liczbowej (1D)

Jeśli punkty mają współrzędne (liczby) \(a\) i \(b\), to długość odcinka \(AB\) wynosi:

\[
|AB| = |a-b|
\]

Dlaczego moduł? Ponieważ odległość nie może być ujemna. Np. \(3-8=-5\), ale odległość to \(5\).

Przykład 1

Punkty: \(A=-2\), \(B=7\).

\[
|AB| = |-2-7| = |-9| = 9
\]

Najczęstsze błędy

• zapomnienie o module,
• pomylenie odległości z różnicą „w dobrą stronę” (odległość zawsze jest dodatnia).

3) Wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych (2D)

Jeśli \(A=(x_1,y_1)\) oraz \(B=(x_2,y_2)\), to długość odcinka \(AB\) obliczamy ze wzoru:

\[
|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
\]

Skąd się bierze ten wzór?

Różnice \(\Delta x = x_2-x_1\) i \(\Delta y = y_2-y_1\) tworzą „przyprostokątne” trójkąta prostokątnego (poziomy i pionowy „krok” między punktami). Odcinek \(AB\) jest wtedy przeciwprostokątną, więc z twierdzenia Pitagorasa:

\[
|AB|^2=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2
\quad\Rightarrow\quad
|AB|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}
\]

Przykład 2 (typowy)

\(A=(1,2)\), \(B=(5,5)\).

Najpierw różnice:

\[
\Delta x = 5-1=4,\quad \Delta y=5-2=3
\]

Potem podstawiamy:

\[
|AB|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5
\]

To klasyczny układ \(3\!-\!4\!-\!5\).

Przykład 3 (z liczbami ujemnymi)

\(A=(-2,4)\), \(B=(3,-1)\).

\[
\Delta x = 3-(-2)=5,\quad \Delta y = -1-4=-5
\]
\[
|AB|=\sqrt{5^2+(-5)^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}
\]

4) Szybka ściąga: kiedy który wzór?

5) Prosty rysunek (Canvas): odcinek i „kroki” \(\Delta x\), \(\Delta y\)

Poniżej jest prosty rysunek pokazujący, skąd bierze się wzór: poziomy odcinek to \(\Delta x\), pionowy to \(\Delta y\), a przekątna to szukana długość \(|AB|\).

Uwaga: rysunek jest poglądowy (prosta siatka i punkty), żeby łatwo było go odczytać także na telefonie.

6) Zastosowania: gdzie ten wzór pojawia się w zadaniach?

6.1) Sprawdzenie, czy trójkąt jest prostokątny

Gdy masz trzy punkty \(A,B,C\), możesz policzyć długości boków \(|AB|,|BC|,|AC|\) i sprawdzić zależność Pitagorasa, np.:

\[
|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2
\]

Jeśli zgadza się (dla odpowiedniego ustawienia boków), to trójkąt jest prostokątny.

6.2) Przekątna prostokąta i kwadratu

Jeśli prostokąt ma boki \(a\) i \(b\), przekątna \(d\) ma długość:

\[
d=\sqrt{a^2+b^2}
\]

Dla kwadratu \(a=b\):

\[
d=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}
\]

6.3) Odległość jako „realny problem”

W fizyce i geografii (w uproszczonych zadaniach) liczymy np. jak daleko przemieścił się obiekt: „3 jednostki na wschód i 4 jednostki na północ” daje:

\[
s=\sqrt{3^2+4^2}=5
\]

7) Przykłady obliczeń – krok po kroku (tabela)

8) Kalkulator długości odcinka (2D) + punkt środkowy

Wpisz współrzędne punktów \(A(x_1,y_1)\) i \(B(x_2,y_2)\). Kalkulator policzy:

• długość \(|AB|\),
• punkt środkowy odcinka \(S\).

Wzory:

\[
|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
\]

\[
S=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)
\]

9) Podsumowanie: najważniejsze rzeczy do zapamiętania

• Na osi liczbowej: \(\;|AB|=|a-b|\).
• W układzie współrzędnych: \(\;|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).
• Zawsze licz najpierw \(\Delta x\) i \(\Delta y\), a dopiero potem podstawiaj do wzoru.
• Wynik długości jest nieujemny, dlatego pojawia się pierwiastek (i w 1D moduł).