W tym materiale wyjaśnimy dokładnie, czym jest graniastosłup, jaki jest ogólny wzór na objętość graniastosłupa oraz jak stosować ten wzór w praktyce. Zobaczysz krok po kroku przykłady obliczeń objętości graniastosłupa prostokątnego i trójkątnego, a także skorzystasz z prostego kalkulatora pomagającego w obliczeniach.
Co to jest graniastosłup?
Graniastosłup to bryła geometryczna, która ma:
- dwie podstawy – takie same (przystające) wielokąty, leżące w dwóch równoległych płaszczyznach,
- ściany boczne – prostokąty (w szkole podstawowej najczęściej rozpatrujemy graniastosłupy proste, w których krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw).
Przykłady graniastosłupów:
- graniastosłup prostokątny – jego podstawą jest prostokąt,
- graniastosłup trójkątny – jego podstawą jest trójkąt,
- graniastosłup o podstawie pięciokąta, sześciokąta itd.
Objętość graniastosłupa – idea
Objętość bryły to informacja, jaką część przestrzeni zajmuje dana bryła. W przypadku graniastosłupa można sobie wyobrazić, że jeśli znamy:
- pole powierzchni jednej podstawy,
- wysokość graniastosłupa – czyli odległość między podstawami,
to objętość jest równa „ilości miejsca”, jakie zajęłaby ta podstawa przesuwana wzdłuż wysokości.
Ogólny wzór na objętość graniastosłupa
Najważniejszy, ogólny wzór na objętość dowolnego graniastosłupa (prostego) brzmi:
\[ V = P_p \cdot H \]
gdzie:
- \( V \) – objętość graniastosłupa,
- \( P_p \) – pole powierzchni jednej podstawy,
- \( H \) – wysokość graniastosłupa (odległość między podstawami).
Ten sam wzór stosujemy niezależnie od tego, czy podstawa jest trójkątem, prostokątem, pięciokątem czy innym wielokątem. Jedyna trudność polega na prawidłowym obliczeniu pola podstawy \( P_p \).
Jednostki objętości graniastosłupa
Jeśli wszystkie wymiary (np. długości krawędzi) podane są w metrach, to:
- pole podstawy \( P_p \) wyrażamy w \(\text{m}^2\),
- wysokość \( H \) w metrach (\(\text{m}\)),
- objętość \( V \) otrzymujemy w \(\text{m}^3\).
Podobnie:
- cm i cm\(^2\) dają cm\(^3\),
- dm i dm\(^2\) dają dm\(^3\),
- mm i mm\(^2\) dają mm\(^3\).
Graniastosłup prostokątny – wzór na objętość
Graniastosłup prostokątny ma za podstawę prostokąt o bokach \( a \) i \( b \). Wysokość graniastosłupa oznaczymy jako \( H \). Pole podstawy wynosi:
\[ P_p = a \cdot b \]
Po podstawieniu do ogólnego wzoru na objętość:
\[ V = P_p \cdot H = a \cdot b \cdot H \]
| Symbol | Znaczenie | Jednostka przykładowa |
|---|---|---|
| \( a \) | długość jednego boku podstawy (prostokąta) | cm, m, mm… |
| \( b \) | długość drugiego boku podstawy | cm, m, mm… |
| \( H \) | wysokość graniastosłupa (odległość między podstawami) | cm, m, mm… |
| \( V \) | objętość graniastosłupa | cm\(^3\), m\(^3\), mm\(^3\)… |
Przykład 1 – objętość graniastosłupa prostokątnego (prosty)
Zadanie. Oblicz objętość graniastosłupa prostokątnego o wymiarach podstawy \( a = 4\ \text{cm} \), \( b = 3\ \text{cm} \) i wysokości \( H = 10\ \text{cm} \).
Krok 1. Zapisujemy dane.
\[ a = 4\ \text{cm}, \quad b = 3\ \text{cm}, \quad H = 10\ \text{cm} \]
Krok 2. Zapisujemy wzór.
\[ V = a \cdot b \cdot H \]
Krok 3. Podstawiamy dane do wzoru.
\[ V = 4\ \text{cm} \cdot 3\ \text{cm} \cdot 10\ \text{cm} \]
Krok 4. Obliczamy krok po kroku.
Najpierw pole podstawy:
\[ P_p = 4\ \text{cm} \cdot 3\ \text{cm} = 12\ \text{cm}^2 \]
Teraz objętość:
\[ V = 12\ \text{cm}^2 \cdot 10\ \text{cm} = 120\ \text{cm}^3 \]
Odpowiedź: Obj. graniastosłupa wynosi \( 120\ \text{cm}^3 \).
Przykład 2 – objętość graniastosłupa prostokątnego (z jednostkami mieszanymi)
Zadanie. Podstawa graniastosłupa prostokątnego ma wymiary \( a = 0{,}5\ \text{m} \) i \( b = 20\ \text{cm} \). Wysokość graniastosłupa wynosi \( H = 40\ \text{cm} \). Oblicz objętość graniastosłupa, wyrażając wynik w \(\text{cm}^3\).
Krok 1. Ujednolicamy jednostki.
Mamy metry i centymetry. Przejdźmy na centymetry:
- \( 0{,}5\ \text{m} = 50\ \text{cm} \)
- \( 20\ \text{cm} = 20\ \text{cm} \) (bez zmian)
- \( 40\ \text{cm} = 40\ \text{cm} \)
Czyli:
\[ a = 50\ \text{cm}, \quad b = 20\ \text{cm}, \quad H = 40\ \text{cm} \]
Krok 2. Wzór na objętość.
\[ V = a \cdot b \cdot H \]
Krok 3. Podstawiamy.
\[ V = 50\ \text{cm} \cdot 20\ \text{cm} \cdot 40\ \text{cm} \]
Krok 4. Obliczamy.
\[ 50 \cdot 20 = 1000 \]
\[ 1000 \cdot 40 = 40000 \]
Jednostka:
\[ \text{cm} \cdot \text{cm} \cdot \text{cm} = \text{cm}^3 \]
Zatem:
\[ V = 40000\ \text{cm}^3 \]
Odpowiedź: Obj. graniastosłupa wynosi \( 40000\ \text{cm}^3 \).
Graniastosłup trójkątny – wzór na objętość
Dla graniastosłupa trójkątnego podstawą jest trójkąt. Ogólny wzór na objętość pozostaje ten sam:
\[ V = P_p \cdot H \]
Różnica polega na tym, jak liczymy pole podstawy \( P_p \), czyli pole trójkąta.
1. Podstawa trójkąt – znamy bok i wysokość opuszczoną na ten bok
Jeśli trójkąt w podstawie ma:
- bok \( a \),
- wysokość \( h_a \) opuszczoną na ten bok,
to jego pole wynosi:
\[ P_p = \frac{a \cdot h_a}{2} \]
Wtedy objętość graniastosłupa trójkątnego:
\[ V = P_p \cdot H = \frac{a \cdot h_a}{2} \cdot H \]
2. Podstawa trójkąt – znamy wszystkie boki (wzór Herona)
Jeżeli w podstawie jest trójkąt o bokach \( a, b, c \) i nie znamy żadnej wysokości, możemy użyć wzoru Herona na pole trójkąta:
Najpierw liczymy półobwód trójkąta:
\[ p = \frac{a + b + c}{2} \]
Następnie pole trójkąta:
\[ P_p = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]
i dalej:
\[ V = P_p \cdot H \]
Przykład 3 – objętość graniastosłupa trójkątnego (bok i wysokość)
Zadanie. Podstawą graniastosłupa jest trójkąt o boku \( a = 6\ \text{cm} \) i wysokości na ten bok \( h_a = 4\ \text{cm} \). Wysokość graniastosłupa wynosi \( H = 10\ \text{cm} \). Oblicz objętość graniastosłupa.
Krok 1. Dane.
\[ a = 6\ \text{cm}, \quad h_a = 4\ \text{cm}, \quad H = 10\ \text{cm} \]
Krok 2. Pole podstawy (trójkąta).
\[ P_p = \frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{6\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm}}{2} \]
\[ P_p = \frac{24\ \text{cm}^2}{2} = 12\ \text{cm}^2 \]
Krok 3. Objętość graniastosłupa.
\[ V = P_p \cdot H = 12\ \text{cm}^2 \cdot 10\ \text{cm} = 120\ \text{cm}^3 \]
Odpowiedź: Obj. graniastosłupa trójkątnego wynosi \( 120\ \text{cm}^3 \).
Przykład 4 – objętość graniastosłupa trójkątnego (wzór Herona)
Zadanie. Podstawą graniastosłupa jest trójkąt o bokach \( a = 5\ \text{cm} \), \( b = 6\ \text{cm} \), \( c = 7\ \text{cm} \). Wysokość graniastosłupa wynosi \( H = 8\ \text{cm} \). Oblicz jego objętość.
Krok 1. Dane.
\[ a = 5\ \text{cm}, \quad b = 6\ \text{cm}, \quad c = 7\ \text{cm}, \quad H = 8\ \text{cm} \]
Krok 2. Liczymy półobwód trójkąta.
\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]
Krok 3. Pole podstawy – wzór Herona.
\[ P_p = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{9 \cdot (9-5) \cdot (9-6) \cdot (9-7)} \]
\[ P_p = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 24} = \sqrt{216} \]
Można uprościć pierwiastek:
\[ 216 = 36 \cdot 6 \Rightarrow \sqrt{216} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{6} = 6\sqrt{6} \]
Czyli:
\[ P_p = 6\sqrt{6}\ \text{cm}^2 \]
Krok 4. Obliczamy objętość.
\[ V = P_p \cdot H = 6\sqrt{6}\ \text{cm}^2 \cdot 8\ \text{cm} = 48\sqrt{6}\ \text{cm}^3 \]
Jeśli chcemy przybliżenie numeryczne (biorąc \(\sqrt{6} \approx 2{,}45\)):
\[ V \approx 48 \cdot 2{,}45 \approx 117{,}6\ \text{cm}^3 \]
Odpowiedź: Obj. graniastosłupa wynosi \( 48\sqrt{6}\ \text{cm}^3 \approx 117{,}6\ \text{cm}^3 \).
Graniastosłup o dowolnej podstawie
Jeśli podstawa jest dowolnym wielokątem (np. pięciokątem, sześciokątem), to nadal korzystamy z tego samego wzoru:
\[ V = P_p \cdot H \]
Najpierw trzeba obliczyć pole podstawy \( P_p \) (zwykle korzystając z odpowiednich wzorów na pole danego wielokąta lub dzieląc go na prostsze figury: trójkąty, prostokąty), a następnie pomnożyć przez wysokość.
Przykład 5 – objętość graniastosłupa o podstawie pięciokąta
Zadanie. Podstawą graniastosłupa jest pięciokąt, którego pole wynosi \( P_p = 30\ \text{cm}^2 \). Wysokość graniastosłupa wynosi \( H = 12\ \text{cm} \). Oblicz objętość graniastosłupa.
Krok 1. Dane.
\[ P_p = 30\ \text{cm}^2, \quad H = 12\ \text{cm} \]
Krok 2. Wzór na objętość.
\[ V = P_p \cdot H \]
Krok 3. Podstawiamy.
\[ V = 30\ \text{cm}^2 \cdot 12\ \text{cm} = 360\ \text{cm}^3 \]
Odpowiedź: Obj. graniastosłupa wynosi \( 360\ \text{cm}^3 \).
Prosty kalkulator objętości graniastosłupa prostokątnego
Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pomoże Ci obliczyć objętość graniastosłupa prostokątnego. Wpisz długości boków podstawy \( a \), \( b \) oraz wysokość \( H \) (w tych samych jednostkach, np. wszystkie w cm), a kalkulator zwróci objętość w odpowiednich jednostkach sześciennych (np. cm\(^3\)).
Oblicz objętość graniastosłupa prostokątnego
Jak krok po kroku rozwiązywać zadania z objętości graniastosłupa?
Podsumujmy, jak podejść do typowego zadania „Oblicz objętość graniastosłupa…”:
- Przeczytaj dokładnie treść. Ustal, jaki to graniastosłup (prostokątny, trójkątny, inny).
- Wypisz dane. Zapisz wszystkie wymiary (np. długości boków, wysokości, pole podstawy).
- Ujednolić jednostki. Jeśli pojawiają się cm i m jednocześnie, przelicz wszystko na jedną jednostkę (najczęściej cm).
- Znajdź pole podstawy \( P_p \).
- jeśli podstawa to prostokąt – \( P_p = a \cdot b \),
- jeśli trójkąt (znasz bok i wysokość) – \( P_p = \dfrac{a \cdot h_a}{2} \),
- jeśli trójkąt (znasz boki) – użyj wzoru Herona,
- jeśli inny wielokąt – zastosuj odpowiedni wzór lub podziel figurę na prostsze części.
- Zastosuj wzór na objętość. \[ V = P_p \cdot H \]
- Wykonaj obliczenia. Najpierw policz \( P_p \), potem pomnóż przez \( H \).
- Sprawdź jednostki. Czy wynik jest w cm\(^3\), m\(^3\) itp.? Czy ma sens (nie jest np. ujemny)?
Typowe błędy przy obliczaniu objętości graniastosłupa
- Mylenie wysokości trójkąta z wysokością graniastosłupa.
W trójkącie jest wysokość (np. \( h_a \)) opuszczona na bok podstawy – służy ona do obliczenia pola podstawy. Wysokość graniastosłupa \( H \) to odległość między podstawami – pojawia się w końcowym mnożeniu \(\ V = P_p \cdot H\). - Brak ujednolicenia jednostek.
Jeśli jedna długość jest w cm, a druga w m, nie wolno ich prosto pomnożyć bez przeliczenia. Zawsze przelicz wszystko na tę samą jednostkę. - Zapominanie o dzieleniu przez 2 przy polu trójkąta.
Częsty błąd: zamiast \(\dfrac{a \cdot h_a}{2}\) uczniowie piszą \(a \cdot h_a\). Pamiętaj, że trójkąt ma połowę pola prostokąta o tych samych wymiarach (bok i wysokość). - Nieprawidłowa kolejność działań.
Dobrze jest najpierw policzyć \(\ P_p\), a dopiero potem mnożyć przez \(\ H\). Porządkuje to obliczenia i zmniejsza ryzyko pomyłki.
Podsumowanie – wzór na objętość graniastosłupa
Najważniejsze informacje, które warto zapamiętać:
- Dla każdego graniastosłupa (prostego) obowiązuje ten sam ogólny wzór:
\[ V = P_p \cdot H \]
- Różnice między zadaniami wynikają głównie z różnego kształtu podstawy i sposobu obliczania jej pola.
- Dla graniastosłupa prostokątnego:
\[ V = a \cdot b \cdot H \]
- Dla graniastosłupa trójkątnego (gdy znamy bok i wysokość trójkąta):
\[ V = \frac{a \cdot h_a}{2} \cdot H \]
- Jednostki objętości to jednostki sześcienne, np. \(\text{cm}^3, \text{m}^3, \text{dm}^3\).
Znając te zasady i dużo ćwicząc na przykładach, bez problemu poradzisz sobie z większością zadań dotyczących objętości graniastosłupa.
