W matematyce szkolnej słowo „delta” najczęściej kojarzy się ze wzorem na rozwiązywanie równań kwadratowych. W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest delta, jak wygląda wzór na deltę, jak ją obliczać, co oznacza jej wartość oraz jak wykorzystać ją w praktyce. Całość będzie oparta na prostych przykładach i dokładnych objaśnieniach.
Czym jest delta w równaniu kwadratowym?
Delta (oznaczana zwykle grecką literą \( \Delta \)) to liczba, która pomaga zdecydować, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe i jakie one są.
Ogólne równanie kwadratowe ma postać:
\[ ax^2 + bx + c = 0,\quad a \neq 0 \]
gdzie:
- \( a \) – współczynnik przy \( x^2 \),
- \( b \) – współczynnik przy \( x \),
- \( c \) – wyraz wolny.
Wzór na deltę w takim równaniu kwadratowym to:
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
Delta jest więc liczbą obliczoną na podstawie współczynników \( a \), \( b \) i \( c \). Sama w sobie nie jest rozwiązaniem równania, ale pozwala zrozumieć, ile rozwiązań ma równanie i jak je dalej znaleźć.
Wzory na deltę i pierwiastki równania kwadratowego
Po obliczeniu delty korzystamy z tzw. wzorów kwadratowych (wzorów na pierwiastki równania kwadratowego):
Jeśli \( \Delta \ge 0 \), to mamy wzory:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
Czyli dokładniej:
\[ x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \]
To, ile z tych pierwiastków „istnieje”, zależy od znaku delty. Dlatego tak ważne jest rozumienie, co oznacza wartość delty.
Co oznacza znak delty? – wnioski z delty
Znak delty mówi nam, ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie kwadratowe:
| Wartość delty | Liczba rozwiązań | Opis |
|---|---|---|
| \( \Delta > 0 \) | 2 różne rozwiązania | Parabola przecina oś OX w dwóch punktach |
| \( \Delta = 0 \) | 1 rozwiązanie (podwójne) | Parabola styka się z osią OX w jednym punkcie |
| \( \Delta < 0 \) | Brak rozwiązań rzeczywistych | Parabola nie przecina osi OX |
Można to zapamiętać jako prostą regułę:
- \( \Delta > 0 \) – dwa pierwiastki rzeczywiste,
- \( \Delta = 0 \) – jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny),
- \( \Delta < 0 \) – brak pierwiastków rzeczywistych.
Przykład 1 – delta dodatnia (\( \Delta > 0 \))
Rozważmy równanie:
\[ x^2 – 5x + 6 = 0 \]
Odczytujemy współczynniki:
- \( a = 1 \)
- \( b = -5 \)
- \( c = 6 \)
Obliczamy deltę:
\[ \Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1 \]
Mamy \( \Delta = 1 > 0 \), więc równanie ma dwa różne rozwiązania.
Obliczamy pierwiastki:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2} \]
Zatem:
\[ x_1 = \frac{5 – 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
\[ x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
Rozwiązania równania to \( x_1 = 2 \) i \( x_2 = 3 \).
Przykład 2 – delta równa zero (\( \Delta = 0 \))
Rozważmy równanie:
\[ x^2 – 4x + 4 = 0 \]
Współczynniki:
- \( a = 1 \)
- \( b = -4 \)
- \( c = 4 \)
Obliczamy deltę:
\[ \Delta = b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 – 16 = 0 \]
Skoro \( \Delta = 0 \), to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste (pierwiastek podwójny).
Obliczamy pierwiastek:
Skoro \( \Delta = 0 \), to \( \sqrt{\Delta} = 0 \), więc:
\[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \]
Rozwiązanie to \( x = 2 \), ale mówi się, że jest to pierwiastek podwójny (parabola „dotyka” osi OX w tym jednym punkcie).
Przykład 3 – delta ujemna (\( \Delta < 0 \))
Rozważmy równanie:
\[ x^2 + x + 1 = 0 \]
Współczynniki:
- \( a = 1 \)
- \( b = 1 \)
- \( c = 1 \)
Obliczamy deltę:
\[ \Delta = b^2 – 4ac = 1^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 – 4 = -3 \]
Mamy \( \Delta = -3 < 0 \), więc:
- równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych,
- wzory \(\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) prowadzą do liczb zespolonych (poza zakresem szkoły podstawowej/gimnazjum).
Na poziomie szkolnym mówimy po prostu: równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Kalkulator delty i pierwiastków równania kwadratowego
Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który obliczy deltę oraz pokaże wnioski o liczbie rozwiązań, a także same pierwiastki (jeśli istnieją w zbiorze liczb rzeczywistych). Wystarczy wpisać wartości \( a \), \( b \) i \( c \) z równania \( ax^2 + bx + c = 0 \).
Kalkulator delty
Graficzna interpretacja delty – prosty wykres paraboli
Delta ma również interpretację geometryczną. Równanie kwadratowe opisuje parabolę. Liczba rozwiązań równania kwadratowego to liczba punktów przecięcia wykresu funkcji kwadratowej z osią OX (osią poziomą).
- \( \Delta > 0 \) – parabola przecina oś OX w dwóch punktach (dwa miejsca zerowe),
- \( \Delta = 0 \) – parabola styka się z osią OX w jednym punkcie (jedno miejsce zerowe podwójne),
- \( \Delta < 0 \) – parabola nie przecina osi OX (brak miejsc zerowych).
Poniższy prosty wykres pokazuje przykładową parabolę \( y = x^2 – 4 \), dla której delta jest dodatnia (\( \Delta = 16 > 0 \)), dlatego wykres przecina oś OX w dwóch punktach.
Krok po kroku: jak obliczyć deltę i rozwiązać równanie kwadratowe?
Poniżej zebrano procedurę w jednym miejscu, aby można było łatwo z niej korzystać:
- Zapisz równanie w postaci ogólnej:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
Jeśli równanie ma inną postać, przekształć je tak, aby wszystko było po jednej stronie znaku równości, a po drugiej było \( 0 \).
- Odczytaj współczynniki:
- \( a \) – współczynnik przy \( x^2 \),
- \( b \) – współczynnik przy \( x \),
- \( c \) – wyraz wolny.
- Oblicz deltę ze wzoru:
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
- Sprawdź znak delty i wyciągnij wniosek:
- Jeśli \( \Delta < 0 \) – kończysz: brak rozwiązań rzeczywistych.
- Jeśli \( \Delta = 0 \) – jedno rozwiązanie:
\[ x = \frac{-b}{2a} \]
- Jeśli \( \Delta > 0 \) – dwa rozwiązania:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
- Podstaw wartości i oblicz pierwiastki.
Dodatkowe przykłady do samodzielnego przećwiczenia
Spróbuj samodzielnie obliczyć deltę i rozwiązać poniższe równania (możesz korzystać z kalkulatora delty powyżej):
- \( 2x^2 – 3x – 2 = 0 \)
- \( x^2 + 4x + 4 = 0 \)
- \( 3x^2 + x + 5 = 0 \)
Wskazówki:
- Dla każdego równania wyznacz \( a \), \( b \), \( c \).
- Oblicz deltę ze wzoru \( \Delta = b^2 – 4ac \).
- Sprawdź, czy delta jest dodatnia, zerowa czy ujemna.
- W zależności od tego policz pierwiastki lub stwierdź, że ich nie ma w zbiorze liczb rzeczywistych.
Dlaczego wzór na deltę działa? Krótkie intuicyjne wyjaśnienie
Bez wchodzenia w pełny dowód (który zwykle robi się przez „dopełnienie kwadratu”), można intuicyjnie zrozumieć, dlaczego delta decyduje o liczbie rozwiązań.
W równaniu kwadratowym przy rozwiązywaniu pojawia się pierwiastek kwadratowy z delty: \( \sqrt{\Delta} \). Jeśli:
- \( \Delta > 0 \) – pierwiastek z dodatniej liczby jest liczbą rzeczywistą niezerową, więc w wyrażeniu
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
mamy dwie różne wartości: z „+” i z „−”. - \( \Delta = 0 \) – pierwiastek z zera to 0, więc „\(+\)” i „\(−\)” dają tę samą liczbę:
\[ x = \frac{-b}{2a} \]
tylko jedno rozwiązanie. - \( \Delta < 0 \) – pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie jest liczbą rzeczywistą (na poziomie szkolnym mówimy: „nie istnieje”), dlatego nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Właśnie dlatego znak delty tak bezpośrednio przekłada się na liczbę pierwiastków równania kwadratowego.
Podsumowanie – najważniejsze informacje o delcie
- Wzór na deltę: \[ \Delta = b^2 – 4ac \] dla równania \( ax^2 + bx + c = 0 \).
- Wnioski z delty:
- \( \Delta > 0 \) – dwa pierwiastki rzeczywiste,
- \( \Delta = 0 \) – jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny),
- \( \Delta < 0 \) – brak pierwiastków rzeczywistych.
- Pierwiastki równania:
- Dla \( \Delta > 0 \): \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
- Dla \( \Delta = 0 \): \[ x = \frac{-b}{2a} \]
- Delta pomaga szybko określić, czy równanie kwadratowe ma rozwiązania i ile ich jest.
- Graficznie: delta mówi, czy parabola przecina oś OX (2 punkty, 1 punkt, czy wcale).
