Równania kwadratowe pojawiają się w szkole podstawowej dość wcześnie i często budzą sporo pytań. Jednym z najważniejszych pojęć związanych z równaniami kwadratowymi jest delta. W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest delta, po co ją liczymy i jak dokładnie obliczyć ją w konkretnych zadaniach.
Co to jest równanie kwadratowe?
Równanie kwadratowe to takie równanie, w którym niewiadoma (zwykle \(x\)) występuje do drugiej potęgi. Ogólny wzór równania kwadratowego wygląda tak:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
gdzie:
- \(a\), \(b\), \(c\) – to liczby (nazywamy je współczynnikami równania),
- \(a \neq 0\) – współczynnik przy \(x^2\) nie może być zerem, bo wtedy nie byłoby to równanie kwadratowe,
- \(x\) – to niewiadoma, którą chcemy obliczyć.
Przykłady równań kwadratowych:
- \(2x^2 + 5x – 3 = 0\)
- \(x^2 – 4x + 4 = 0\)
- \(-3x^2 + 6x + 1 = 0\)
Czym jest delta w równaniu kwadratowym?
Delta (często zapisujemy ją grecką literą \(\Delta\)) to wyrażenie, które pojawia się we wzorach na rozwiązania równania kwadratowego. Delta pozwala nam:
- sprawdzić, czy równanie ma rozwiązania rzeczywiste,
- dowiedzieć się, ile jest tych rozwiązań (pierwiastków),
- obliczyć dokładne wartości rozwiązań.
Delta jest zdefiniowana następująco:
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
To znaczy: aby obliczyć deltę, bierzemy:
- współczynnik przy \(x\), czyli \(b\), podnosimy go do kwadratu (\(b^2\)),
- współczynnik przy \(x^2\), czyli \(a\), mnożymy przez współczynnik wolny, czyli \(c\), oraz przez \(4\), co daje \(4ac\),
- odejmujemy: \(b^2 – 4ac\).
Jak znaleźć współczynniki \(a\), \(b\), \(c\)?
Najpierw równanie musi być zapisane w postaci:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
Przykład 1:
Równanie: \[ 2x^2 + 5x – 3 = 0 \]
Odczytujemy:
- \(a = 2\)
- \(b = 5\)
- \(c = -3\)
Przykład 2:
Równanie: \[ x^2 – 4x + 4 = 0 \]
Odczytujemy:
- \(a = 1\) (gdy przed \(x^2\) nic nie stoi, to znaczy, że stoi tam \(1\))
- \(b = -4\)
- \(c = 4\)
Przykład 3:
Równanie: \[ -3x^2 + 6x + 1 = 0 \]
- \(a = -3\)
- \(b = 6\)
- \(c = 1\)
Bardzo ważne jest zwracanie uwagi na znaki (plusy i minusy) przy liczbach.
Wzór na deltę w równaniu kwadratowym
Wzór na deltę wygląda zawsze tak samo:
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
Gdzie:
- \(a\) – współczynnik przy \(x^2\)
- \(b\) – współczynnik przy \(x\)
- \(c\) – wyraz wolny (liczba bez \(x\))
Aby obliczyć deltę:
- Odczytaj wartości \(a\), \(b\), \(c\) z równania.
- Podstaw je do wzoru \(\Delta = b^2 – 4ac\).
- Wykonaj działania krok po kroku.
Znaczenie delty w równaniu kwadratowym
To, czy równanie kwadratowe ma rozwiązania i ile ich ma, zależy od znaku delty.
| Wartość delty | Liczba rozwiązań (pierwiastków) | Opis |
|---|---|---|
| \(\Delta > 0\) | 2 różne rozwiązania | Parabola przecina oś \(x\) w dwóch punktach. |
| \(\Delta = 0\) | 1 rozwiązanie (podwójny pierwiastek) | Parabola dotyka osi \(x\) w jednym punkcie. |
| \(\Delta < 0\) | 0 rozwiązań rzeczywistych | Parabola nie przecina osi \(x\) (brak pierwiastków rzeczywistych). |
Jak obliczyć deltę krok po kroku – przykład 1
Policzmy deltę dla równania:
\[ 2x^2 + 5x – 3 = 0 \]
Krok 1 – odczytanie współczynników
- \(a = 2\)
- \(b = 5\)
- \(c = -3\)
Krok 2 – zapisanie wzoru z podstawieniem
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
Podstawiamy \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = -3\):
\[ \Delta = 5^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) \]
Krok 3 – obliczenie kwadratu liczby \(b\)
\[ 5^2 = 25 \]
Mamy więc:
\[ \Delta = 25 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) \]
Krok 4 – obliczenie \(4ac\)
Najpierw obliczamy iloczyn:
\[ 4 \cdot 2 = 8 \]
\[ 8 \cdot (-3) = -24 \]
Zatem:
\[ 4ac = -24 \]
Krok 5 – wstawiamy z powrotem do wzoru
\[ \Delta = 25 – (-24) \]
Pamiętaj: minus minus daje plus:
\[ 25 – (-24) = 25 + 24 = 49 \]
Ostatecznie:
\[ \Delta = 49 \]
Widzimy, że \(\Delta > 0\), więc równanie ma dwa różne rozwiązania.
Jak obliczyć deltę – przykład 2 (\(\Delta = 0\))
Policzmy deltę dla równania:
\[ x^2 – 4x + 4 = 0 \]
Krok 1 – współczynniki
- \(a = 1\)
- \(b = -4\)
- \(c = 4\)
Krok 2 – podstawienie do wzoru
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 \]
Krok 3 – obliczenie kwadratu \(b\)
\[ (-4)^2 = 16 \]
Mamy:
\[ \Delta = 16 – 4 \cdot 1 \cdot 4 \]
Krok 4 – obliczenie \(4ac\)
\[ 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 \]
\[ \Delta = 16 – 16 = 0 \]
Ostatecznie:
\[ \Delta = 0 \]
To znaczy, że równanie ma jedno rozwiązanie (pierwiastek podwójny).
Jak obliczyć deltę – przykład 3 (\(\Delta < 0\))
Policzmy deltę dla równania:
\[ x^2 + x + 1 = 0 \]
Krok 1 – współczynniki
- \(a = 1\)
- \(b = 1\)
- \(c = 1\)
Krok 2 – podstawienie
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Delta = 1^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 \]
Krok 3 – liczymy
\[ 1^2 = 1 \]
\[ 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 \]
\[ \Delta = 1 – 4 = -3 \]
Ostatecznie:
\[ \Delta = -3 \]
Widzimy, że \(\Delta < 0\), więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych (nie znajdziemy takich liczbowych \(x\), które spełniają to równanie w zbiorze liczb rzeczywistych).
Jak z delty przejść do rozwiązań równania?
Choć w tym artykule skupiamy się na tym, jak obliczyć deltę, warto zobaczyć, jak wykorzystujemy ją dalej.
Jeśli \(\Delta \ge 0\), to rozwiązania równania kwadratowego obliczamy ze wzorów:
- dla \(\Delta > 0\):
\[ x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \]
- dla \(\Delta = 0\):
\[ x = \frac{-b}{2a} \]
Najpierw więc zawsze liczymy deltę, a dopiero potem wyznaczamy pierwiastki równania.
Typowe błędy przy obliczaniu delty
Podczas obliczania delty uczniowie często popełniają podobne pomyłki. Warto je znać, aby ich unikać.
- Zapominanie o nawiasach przy liczbie ujemnej:
Zamiast pisać \((-4)^2\), ktoś zapisuje \(-4^2\).
Prawidłowo: \((-4)^2 = 16\), natomiast \(-4^2 = -16\). W delcie zawsze podnosimy całe \(b\) do kwadratu, więc używamy nawiasów: \((b)^2\). - Błędne odczytanie współczynników:
Szczególnie łatwo pomylić się przy liczbach ujemnych albo gdy coś „nie stoi” przy \(x^2\) (wtedy jest tam 1). - Pomyłki w mnożeniu \(4ac\):
Warto wykonywać mnożenie krok po kroku: najpierw \(4 \cdot a\), potem wynik razy \(c\). - Zgubienie minusa przy odejmowaniu:
Gdy mamy wyrażenie typu \(25 – (-24)\), łatwo zapomnieć, że to tak naprawdę \(25 + 24\).
Prosty kalkulator delty (JavaScript)
Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pomoże Ci obliczyć deltę dla dowolnego równania kwadratowego \(ax^2 + bx + c = 0\). Wpisz wartości \(a\), \(b\), \(c\), a skrypt obliczy deltę oraz powie, ile jest rozwiązań. Jeśli delta będzie dodatnia lub równa zero, kalkulator poda także pierwiastki równania.
Kalkulator delty
Ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania
Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć deltę (a potem, jeśli chcesz, pierwiastki) dla poniższych równań. Możesz użyć kalkulatora powyżej, żeby sprawdzić swoje wyniki.
- \(x^2 + 3x + 2 = 0\)
- \(2x^2 - 4x + 2 = 0\)
- \(3x^2 + x - 4 = 0\)
- \(-x^2 + 6x - 9 = 0\)
Dla każdego równania:
- Odczytaj \(a\), \(b\), \(c\).
- Policz deltę ze wzoru \(\Delta = b^2 - 4ac\).
- Sprawdź znak delty i zapisz, ile jest rozwiązań.
- Jeśli \(\Delta \ge 0\), policz pierwiastki.
Podsumowanie – jak obliczyć deltę w równaniu kwadratowym?
- Zapisz równanie w postaci \(ax^2 + bx + c = 0\).
- Odczytaj współczynniki \(a\), \(b\), \(c\).
- Użyj wzoru na deltę: \(\Delta = b^2 - 4ac\).
- Wykonaj działania krok po kroku, szczególnie uważając na znaki i nawiasy.
- Sprawdź znak delty:
- \(\Delta > 0\) – dwa rozwiązania,
- \(\Delta = 0\) – jedno rozwiązanie,
- \(\Delta < 0\) – brak rozwiązań rzeczywistych.
Znając deltę i rozumiejąc, jak ją obliczać, masz solidną podstawę do dalszej nauki równań kwadratowych i ich rozwiązywania.
