W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest przekątna, skąd bierze się wzór na przekątną oraz jak z niego korzystać w praktyce. Skupimy się przede wszystkim na przekątnej prostokąta i kwadratu, bo to najczęściej spotykane przypadki w szkole i w zadaniach z życia codziennego.

Co to jest przekątna?

Przekątna to odcinek łączący dwa wierzchołki wielokąta, które nie leżą obok siebie (nie są sąsiednie). W praktyce, gdy mówimy o „wzorze na przekątną”, najczęściej mamy na myśli:

• przekątną prostokąta,
• przekątną kwadratu (która jest szczególnym przypadkiem przekątnej prostokąta).

Jeśli narysujesz prostokąt i połączysz jego dwa przeciwległe rogi, otrzymasz właśnie przekątną.

Twierdzenie Pitagorasa – podstawa wzoru na przekątną

Wzór na przekątną wywodzi się z twierdzenia Pitagorasa. Warto je dobrze zrozumieć, bo wtedy sam wzór na przekątną stanie się oczywisty.

Twierdzenie Pitagorasa dotyczy trójkąta prostokątnego (takiego, który ma kąt prosty, czyli \(90^\circ\)). Mówi ono, że:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

gdzie:

• \(a\) i \(b\) – długości przyprostokątnych (boków przy kącie prostym),
• \(c\) – długość przeciwprostokątnej (boku naprzeciwko kąta prostego).

Aby obliczyć długość przeciwprostokątnej, przekształcamy wzór:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

To właśnie ten wzór wykorzystamy do obliczenia przekątnej prostokąta.

Dlaczego przekątna prostokąta tworzy trójkąt prostokątny?

Wyobraź sobie prostokąt o bokach \(a\) i \(b\). Jeśli poprowadzisz przekątną, podzielisz prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. Każdy z nich ma:

• dwie przyprostokątne: długości \(a\) i \(b\),
• przeciwprostokątną: długość przekątnej – oznaczmy ją przez \(d\).

Oznacza to, że możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa:

\[ a^2 + b^2 = d^2 \]

Stąd długość przekątnej prostokąta to:

\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Wzór na przekątną prostokąta

Podsumujmy: jeśli prostokąt ma boki o długościach \(a\) i \(b\), to długość przekątnej \(d\) obliczamy ze wzoru:

\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]

To jest podstawowy wzór na przekątną prostokąta. Warto zwrócić uwagę na kilka rzeczy:

• \(a\) i \(b\) to długości boków prostokąta,
• przekątna jest zawsze dłuższa od każdego z boków (bo to przeciwprostokątna),
• wzór działa niezależnie od tego, który bok nazwiemy \(a\), a który \(b\).

Przykład 1: obliczanie przekątnej prostokąta

Zadanie: Prostokąt ma boki o długości \(a = 3\ \text{cm}\) i \(b = 4\ \text{cm}\). Oblicz długość przekątnej.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Zapisujemy wzór na przekątną prostokąta:
   \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]
2. Podstawiamy długości boków:
   \[ d = \sqrt{3^2 + 4^2} \]
3. Obliczamy kwadraty:
   \[ d = \sqrt{9 + 16} \]
4. Dodajemy:
   \[ d = \sqrt{25} \]
5. Wyciągamy pierwiastek:
   \[ d = 5\ \text{cm} \]

Odpowiedź: Przekątna ma długość \(5\ \text{cm}\).

To klasyczny przykład „trójkąta 3–4–5”, który często pojawia się w zadaniach.

Przekątna kwadratu – szczególny przypadek

Kwadrat to prostokąt, w którym wszystkie boki są równe. Oznaczmy bok kwadratu przez \(a\). Wtedy obie przyprostokątne w naszym „trójkącie z przekątną” mają długość \(a\). Zastępujemy więc we wzorze \(b\) przez \(a\):

\[ d = \sqrt{a^2 + a^2} \]

Dodajemy kwadraty:

\[ d = \sqrt{2a^2} \]

Wyciągamy pierwiastek z iloczynu:

\[ d = \sqrt{2}\cdot\sqrt{a^2} = a\sqrt{2} \]

Ostatecznie wzór na przekątną kwadratu jest bardzo prosty:

\[ d = a\sqrt{2} \]

Przykład 2: obliczanie przekątnej kwadratu

Zadanie: Kwadrat ma bok długości \(a = 6\ \text{cm}\). Oblicz długość przekątnej.

Rozwiązanie:

1. Korzystamy ze wzoru:
   \[ d = a\sqrt{2} \]
2. Podstawiamy:
   \[ d = 6\sqrt{2}\ \text{cm} \]
3. Jeśli potrzebujemy przybliżenia liczbowego (np. do dwóch miejsc po przecinku), przyjmujemy \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\):
   \[ d \approx 6 \cdot 1{,}41 = 8{,}46\ \text{cm} \]

Odpowiedź: Przekątna ma długość dokładnie \(6\sqrt{2}\ \text{cm}\), co w przybliżeniu daje \(8{,}46\ \text{cm}\).

Jak rozpoznać, którego wzoru użyć?

W zadaniu możesz spotkać różne sformułowania. Oto prosta „ściągawka”:

Sytuacja w zadaniu	Co znasz?	Jaki wzór na przekątną?
Prostokąt	Długości obu boków: \(a\) i \(b\)	\( d = \sqrt{a^2 + b^2} \)
Kwadrat	Długość boku: \(a\)	\( d = a\sqrt{2} \)
Ogólny trójkąt prostokątny	Dwie przyprostokątne: \(a\) i \(b\)	\( c = \sqrt{a^2 + b^2} \) (przeciwprostokątna)

Kolejny przykład: zadanie tekstowe

Zadanie: Ekran telewizora ma kształt prostokąta o wymiarach \(40\ \text{cm}\) na \(30\ \text{cm}\). Jaką długość ma przekątna ekranu?

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Zapisujemy dane:
   • \(a = 40\ \text{cm}\)
   • \(b = 30\ \text{cm}\)
2. Korzystamy ze wzoru na przekątną prostokąta:
   \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]
3. Podstawiamy:
   \[ d = \sqrt{40^2 + 30^2} \]
4. Obliczamy kwadraty:
   \[ d = \sqrt{1600 + 900} \]
5. Dodajemy:
   \[ d = \sqrt{2500} \]
6. Wyciągamy pierwiastek:
   \[ d = 50\ \text{cm} \]

Odpowiedź: Przekątna ekranu ma długość \(50\ \text{cm}\).

Rozszerzenie: przekątna prostopadłościanu (opcjonalnie)

Choć głównym tematem jest przekątna w figurach płaskich, warto wspomnieć, że podobny pomysł działa w trójwymiarze. Jeśli mamy prostopadłościan (np. pudełko) o krawędziach \(a\), \(b\), \(c\), to przekątna przechodząca przez jego „środek” ma długość:

\[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]

Wzór ten można wyprowadzić, stosując twierdzenie Pitagorasa dwa razy: najpierw do przekątnej podstawy, a potem do przekątnej całej bryły. To jednak temat bardziej zaawansowany – wspominamy o nim tylko jako ciekawostkę.

Najczęstsze błędy przy obliczaniu przekątnej

Podczas obliczania długości przekątnej uczniowie często popełniają podobne błędy. Warto je poznać, aby samemu ich unikać.

• Błąd 1: Dodawanie boków zamiast ich kwadratów.
  Zamiast \(\sqrt{a^2 + b^2}\) ktoś zapisuje \(\sqrt{a + b}\). To niepoprawne. Najpierw każdy bok trzeba podnieść do kwadratu, a dopiero później dodać.
• Błąd 2: Zapomnienie o pierwiastku.
  Ktoś zatrzymuje się na \(d^2 = a^2 + b^2\) i myli się, mówiąc, że przekątna ma długość \(a^2 + b^2\). Aby dostać \(d\), trzeba wyciągnąć pierwiastek:
  \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]
• Błąd 3: Mylenie wzoru dla prostokąta i kwadratu.
  Dla kwadratu możesz użyć obu wzorów:
  \[ d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]
  ale często wygodniej i szybciej jest użyć bezpośrednio \(d = a\sqrt{2}\).
• Błąd 4: Zła jednostka wynikowa.
  Jeśli boki są w centymetrach, przekątna też będzie w centymetrach. Jeśli w metrach – w metrach itd. Jednostka się nie zmienia.

Prosty kalkulator przekątnej (prostokąt / kwadrat)

Poniższy prosty kalkulator pomoże Ci szybko obliczyć długość przekątnej. Działa w dwóch trybach:

• jeśli podasz dwie różne długości boków – policzy przekątną prostokąta (\(d = \sqrt{a^2 + b^2}\)),
• jeśli podasz tylko jeden bok (drugi zostawisz pusty lub równy 0) – policzy przekątną kwadratu (\(d = a\sqrt{2}\)).

Spróbuj samodzielnie podstawić różne wartości i porównać wyniki z własnymi obliczeniami na kartce. To dobry sposób, by sprawdzić, czy poprawnie stosujesz wzór.

Jak samodzielnie ćwiczyć obliczanie przekątnej?

Aby dobrze opanować temat, warto rozwiązać kilka prostych zadań:

1. Prostokąt ma boki \(5\ \text{cm}\) i \(12\ \text{cm}\). Oblicz przekątną.
2. Kwadrat ma przekątną długości \(10\ \text{cm}\). Oblicz długość boku (podpowiedź: skorzystaj z równania \(d = a\sqrt{2}\) i wyznacz \(a\)).
3. Kwadrat o boku \(7\ \text{cm}\) – policz przekątną i podaj wynik w postaci z \(\sqrt{2}\) i w przybliżeniu dziesiętnym.

Rozwiązując takie zadania, szybko nabierzesz pewności w korzystaniu ze wzoru na przekątną.

Podsumowując, wzór na przekątną w prostokącie i kwadracie opiera się bezpośrednio na twierdzeniu Pitagorasa. Jeśli je rozumiesz, wzory:

\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \quad \text{oraz} \quad d = a\sqrt{2} \]

staną się dla Ciebie naturalne i łatwe w użyciu w każdym zadaniu.