W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym są równania prostej, jak wygląda równanie ogólne prostej, jak je przekształcać oraz jak rozwiązywać typowe zadania z tym związane. Będzie dużo przykładów z rozwiązaniami – tak, abyś po przeczytaniu potrafił samodzielnie pracować z równaniami prostych.

Co to jest prosta w matematyce?

W geometrii analitycznej prosta to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, które spełniają pewne równanie. Każdy punkt na płaszczyźnie ma współrzędne \((x, y)\). Mówimy, że punkt \((x, y)\) należy do prostej, jeśli po podstawieniu \(x\) i \(y\) do równania prostej otrzymujemy prawdziwe zdanie.

Na przykład, dla prostej opisanej równaniem:

\[ y = 2x + 1 \]

punkt \((1, 3)\) należy do tej prostej, bo:

\[ y = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \]

Czyli współrzędne punktu spełniają równanie.

Postać ogólna równania prostej

Równanie ogólne prostej w matematyce (na płaszczyźnie kartezjańskiej) ma postać:

\[ Ax + By + C = 0 \]

gdzie:

• \(A, B, C\) – są liczbami rzeczywistymi (stałymi),
• \(x, y\) – to zmienne (współrzędne punktów na płaszczyźnie),
• co najmniej jedno z \(A\) lub \(B\) musi być różne od zera (inaczej nie byłoby prostej).

Przykłady równań ogólnych prostej:

• \(2x – 3y + 6 = 0\)
• \(-4x + y – 1 = 0\)
• \(5x + 10 = 0\) (tutaj \(B = 0\), mamy prostą pionową)
• \(3y – 9 = 0\) (tutaj \(A = 0\), mamy prostą poziomą)

Jak sprawdzić, czy punkt leży na prostej w postaci ogólnej?

Aby sprawdzić, czy punkt \((x_0, y_0)\) leży na prostej:

\[ Ax + By + C = 0 \]

podstawiamy \(x = x_0\) oraz \(y = y_0\) do równania i sprawdzamy, czy otrzymamy 0 po lewej stronie.

Jeśli \(A x_0 + B y_0 + C = 0\), to punkt leży na prostej.
Jeśli \(A x_0 + B y_0 + C \neq 0\), to punkt nie leży na prostej.

Przykład 1
Sprawdź, czy punkt \((1, 2)\) leży na prostej:

\[ 2x – 3y + 6 = 0 \]

Podstawiamy \(x = 1\), \(y = 2\):

\[ 2 \cdot 1 – 3 \cdot 2 + 6 = 2 – 6 + 6 = 2 \neq 0 \]

Ponieważ wynik nie jest równy 0, punkt \((1, 2)\) nie leży na tej prostej.

Przykład 2
Sprawdź, czy punkt \((0, -2)\) leży na prostej:

\[ x + 2y + 4 = 0 \]

Podstawiamy \(x = 0\), \(y = -2\):

\[ 0 + 2 \cdot (-2) + 4 = 0 – 4 + 4 = 0 \]

Otrzymaliśmy 0, więc punkt \((0, -2)\) leży na tej prostej.

Najważniejsze postacie równania prostej

Prostą można zapisać na kilka równoważnych sposobów. Najczęściej używamy:

1. Postać ogólna: \(\;Ax + By + C = 0\)
2. Postać kierunkowa: \(\;y = ax + b\)
3. Postać odcinkowa: \(\;\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1\) (gdy prosta przecina oba osie)

Postać równania	Wzór	Co oznaczają współczynniki?
Ogólna	\(Ax + By + C = 0\)	\(A, B, C\) – dowolne liczby rzeczywiste, \(A\) lub \(B \neq 0\)
Kierunkowa	\(y = ax + b\)	\(a\) – współczynnik kierunkowy (nachylenie), \(b\) – wyraz wolny (punkt przecięcia z osią \(Oy\))
Odcinkowa	\(\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1\)	\(p\) – punkt przecięcia z osią \(Ox\), \(q\) – punkt przecięcia z osią \(Oy\)

Przechodzenie z postaci ogólnej do kierunkowej

Często wygodniej jest pracować z równaniem w postaci kierunkowej:

\[ y = ax + b \]

Aby zamienić postać ogólną:

\[ Ax + By + C = 0 \]

na postać kierunkową, rozwiązujemy to równanie względem \(y\).

Warunek: musi być \(B \neq 0\) (bo dzielimy przez \(B\)). Jeśli \(B = 0\), to prosta jest pionowa i nie da się jej zapisać w postaci \(y = ax + b\).

Przykład 3
Przekształć równanie prostej z postaci ogólnej na kierunkową:

\[ 2x – 3y + 6 = 0 \]

Krok 1. Przenosimy wyrazy z \(x\) i stałą na drugą stronę:

\[ -3y = -2x – 6 \]

Krok 2. Dzielimy obustronnie przez \(-3\):

\[ y = \frac{-2}{-3}x + \frac{-6}{-3} \]

\[ y = \frac{2}{3}x + 2 \]

Czyli postać kierunkowa to:

\[ y = \frac{2}{3}x + 2 \]

Współczynnik kierunkowy: \(a = \frac{2}{3}\), wyraz wolny: \(b = 2\).

Przykład 4
Przekształć równanie:

\[ -4x + y – 1 = 0 \]

Krok 1. Zostawiamy \(y\) po lewej, resztę przenosimy na prawą stronę:

\[ y = 4x + 1 \]

Tu od razu mamy postać kierunkową: \(y = 4x + 1\).

Przechodzenie z postaci kierunkowej do ogólnej

Majac równanie w postaci:

\[ y = ax + b \]

łatwo otrzymać postać ogólną. Wystarczy przenieść wszystko na jedną stronę:

\[ ax – y + b = 0 \]

Przykład 5
Dane jest równanie prostej w postaci kierunkowej:

\[ y = 2x – 5 \]

Chcemy uzyskać postać ogólną.

Krok 1. Przenosimy wszystko na jedną stronę:

\[ 2x – 5 – y = 0 \]

Można uporządkować:

\[ 2x – y – 5 = 0 \]

To jest postać ogólna: \(A = 2\), \(B = -1\), \(C = -5\).

Proste szczególne: pionowe i poziome

Prosta pozioma

Prosta pozioma ma równanie:

\[ y = k \]

gdzie \(k\) jest stałą. Każdy punkt na tej prostej ma tę samą współrzędną \(y\).

W postaci ogólnej możemy to zapisać jako:

\[ 0 \cdot x + 1 \cdot y – k = 0 \quad \Rightarrow \quad y – k = 0 \]

Przykład: \(y = 3\) w postaci ogólnej:

\[ y – 3 = 0 \]

Prosta pionowa

Prosta pionowa ma równanie:

\[ x = k \]

Każdy punkt na tej prostej ma tę samą współrzędną \(x\).

W postaci ogólnej:

\[ 1 \cdot x + 0 \cdot y – k = 0 \quad \Rightarrow \quad x – k = 0 \]

Przykład: \(x = -2\) w postaci ogólnej:

\[ x + 2 = 0 \]

Wykres przykładowej prostej

Poniżej prosty, responsywny wykres prostej \(y = 2x + 1\) (ta sama prosta może mieć też postać ogólną: \(2x – y + 1 = 0\)). Wykres dopasuje się do szerokości ekranu, także na telefonie.

Współczynnik kierunkowy a nachylenie prostej

W postaci kierunkowej:

\[ y = ax + b \]

współczynnik \(a\) określa, jak bardzo prosta jest nachylona.

• Jeśli \(a > 0\) – prosta rośnie (idąc w prawo, idziemy w górę).
• Jeśli \(a < 0\) – prosta maleje (idąc w prawo, idziemy w dół).
• Jeśli \(a = 0\) – prosta jest pozioma.

Z ogólnej postaci:

\[ Ax + By + C = 0 \]

możemy przejść do postaci kierunkowej (przy \(B \neq 0\)):

\[ y = -\frac{A}{B}x – \frac{C}{B} \]

Czyli:

\[ a = -\frac{A}{B} \quad\text{oraz}\quad b = -\frac{C}{B} \]

Przykłady zadań z równaniami ogólnymi prostej

Zadanie 1 – sprawdzanie, czy punkt leży na prostej

Treść:
Dana jest prosta:

\[ 3x – 2y + 4 = 0 \]

Sprawdź, czy punkty \((2, 5)\) i \((-2, -1)\) leżą na tej prostej.

Rozwiązanie:

Dla punktu \((2, 5)\):

\[ 3 \cdot 2 – 2 \cdot 5 + 4 = 6 – 10 + 4 = 0 \]

Wynik: 0, więc punkt \((2, 5)\) leży na prostej.

Dla punktu \((-2, -1)\):

\[ 3 \cdot (-2) – 2 \cdot (-1) + 4 = -6 + 2 + 4 = 0 \]

Też wynik 0, więc punkt \((-2, -1)\) także leży na tej prostej.

Zadanie 2 – przejście z postaci ogólnej do kierunkowej

Treść:
Sprowadź równanie prostej:

\[ -6x + 3y – 9 = 0 \]

do postaci kierunkowej i odczytaj współczynnik kierunkowy oraz wyraz wolny.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Przenosimy wyrazy z \(x\) i stałą na drugą stronę:
   \[ 3y = 6x + 9 \]
2. Dzielimy przez 3:
   \[ y = 2x + 3 \]

Zatem:

• współczynnik kierunkowy \(a = 2\),
• wyraz wolny \(b = 3\).

Zadanie 3 – przejście z postaci kierunkowej do ogólnej

Treść:
Dane jest równanie prostej:

\[ y = -\frac{1}{2}x + 4 \]

Zapisz je w postaci ogólnej z całkowitymi współczynnikami.

Rozwiązanie:

1. Przenosimy wszystko na lewą stronę:
   \[ y + \frac{1}{2}x – 4 = 0 \]
2. Aby pozbyć się ułamka, mnożymy przez 2:
   \[ 2y + x – 8 = 0 \]

Możemy zamienić kolejność wyrazów (to ta sama prosta):

\[ x + 2y – 8 = 0 \]

To jest równanie ogólne z całkowitymi współczynnikami.

Zadanie 4 – równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

To bardzo typowy typ zadania: znajdź równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. Ostatecznie zwykle chcemy uzyskać postać ogólną.

Krok 1. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\)

Jeśli znamy dwa różne punkty prostej: \((x_1, y_1)\) i \((x_2, y_2)\), to:

\[ a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \quad (x_2 \neq x_1) \]

Krok 2. Wyznaczenie wyrazu wolnego \(b\)

Korzystamy z równania kierunkowego:

\[ y = ax + b \]

Podstawiamy współrzędne jednego z punktów i obliczony wcześniej \(a\), aby znaleźć \(b\).

Krok 3. Przekształcenie do postaci ogólnej

Mając \(y = ax + b\), przenosimy wszystko na jedną stronę:

\[ ax – y + b = 0 \]

Przykład 6
Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty \((1, 2)\) i \((3, 6)\) w postaci ogólnej.

Rozwiązanie:

1. Liczymy współczynnik kierunkowy:
   \[ a = \frac{6 – 2}{3 – 1} = \frac{4}{2} = 2 \]
2. Podstawiamy do postaci kierunkowej \(y = ax + b\) punkt \((1, 2)\):
   \[ 2 = 2 \cdot 1 + b \Rightarrow 2 = 2 + b \Rightarrow b = 0 \]
3. Mamy postać kierunkową:
   \[ y = 2x \]
4. Przekształcamy do postaci ogólnej:
   \[ 2x – y = 0 \]

Odpowiedź: równanie ogólne prostej to:

\[ 2x – y = 0 \]

Przykład 7 (prosta malejąca)
Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty \((0, 3)\) i \((2, -1)\) w postaci ogólnej.

Rozwiązanie:

1. Współczynnik kierunkowy:
   \[ a = \frac{-1 – 3}{2 – 0} = \frac{-4}{2} = -2 \]
2. Podstawiamy do \(y = ax + b\) punkt \((0, 3)\):
   \[ 3 = -2 \cdot 0 + b \Rightarrow b = 3 \]
3. Postać kierunkowa:
   \[ y = -2x + 3 \]
4. Postać ogólna:
   \[ -2x + 3 – y = 0 \Rightarrow -2x – y + 3 = 0 \]
5. Możemy pomnożyć przez \(-1\), aby mieć dodatni współczynnik przy \(x\):
   \[ 2x + y – 3 = 0 \]

Odpowiedź: \(\;2x + y – 3 = 0\).

Prosty kalkulator równania prostej przez dwa punkty

Poniżej znajdziesz prosty kalkulator w JavaScript, który oblicza równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. Jako wynik podaje zarówno postać kierunkową, jak i ogólną.

Typowe zadania z równaniami prostymi – zestaw ćwiczeń

Zadanie 5

Treść:
Znajdź równanie ogólne prostej, która ma współczynnik kierunkowy \(a = -3\) i przechodzi przez punkt \((2, 1)\).

Rozwiązanie:

1. Postać kierunkowa:
   \[ y = -3x + b \]
2. Podstawiamy punkt \((2, 1)\):
   \[ 1 = -3 \cdot 2 + b \Rightarrow 1 = -6 + b \Rightarrow b = 7 \]
3. Postać kierunkowa:
   \[ y = -3x + 7 \]
4. Postać ogólna:
   \[ -3x + 7 – y = 0 \Rightarrow -3x – y + 7 = 0 \]
5. Mnożenie przez \(-1\) (opcjonalnie):
   \[ 3x + y – 7 = 0 \]

Odpowiedź: \(\;3x + y – 7 = 0\).

Zadanie 6

Treść:
Dane jest równanie ogólne prostej:

\[ 4x + 2y – 6 = 0 \]

a) Sprowadź je do postaci kierunkowej.
b) Odczytaj współczynnik kierunkowy i wyraz wolny.
c) Wyznacz punkt przecięcia z osią \(Oy\).

Rozwiązanie:

a) Przekształcenie do postaci kierunkowej:

\[ 2y = -4x + 6 \]

\[ y = -2x + 3 \]

b) Współczynnik kierunkowy i wyraz wolny:

• \(a = -2\)
• \(b = 3\)

c) Punkt przecięcia z osią \(Oy\) to punkt, gdzie \(x = 0\). Wtedy:

\[ y = -2 \cdot 0 + 3 = 3 \]

Zatem punkt przecięcia z osią \(Oy\) to \((0, 3)\).

Zadanie 7

Treść:
Dana jest prosta o równaniu ogólnym:

\[ -x + 5y + 10 = 0 \]

Znajdź jej punkty przecięcia z osiami \(Ox\) i \(Oy\).

Rozwiązanie:

Punkt przecięcia z osią \(Ox\): na osi \(Ox\) mamy \(y = 0\).

Podstawiamy \(y = 0\):

\[ -x + 5 \cdot 0 + 10 = 0 \Rightarrow -x + 10 = 0 \Rightarrow x = 10 \]

Punkt przecięcia z osią \(Ox\): \((10, 0)\).

Punkt przecięcia z osią \(Oy\): na osi \(Oy\) mamy \(x = 0\).

Podstawiamy \(x = 0\):

\[ -0 + 5y + 10 = 0 \Rightarrow 5y + 10 = 0 \Rightarrow 5y = -10 \Rightarrow y = -2 \]

Punkt przecięcia z osią \(Oy\): \((0, -2)\).

Podsumowanie – najważniejsze wzory i kroki

• Postać ogólna prostej:
  \[ Ax + By + C = 0 \]
• Postać kierunkowa prostej:
  \[ y = ax + b \]
• Związek między postacią ogólną a kierunkową (przy \(B \neq 0\)):
  \[ y = -\frac{A}{B}x – \frac{C}{B} \]
• Współczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\):
  \[ a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}, \quad x_2 \neq x_1 \]
• Sprawdzanie, czy punkt \((x_0, y_0)\) leży na prostej:
  \[ Ax_0 + By_0 + C = 0 \ \Rightarrow\ \text{punkt leży na prostej} \]

Opanowanie tych kilku prostych wzorów i umiejętność przechodzenia między postaciami równania prostej pozwoli Ci rozwiązać większość zadań dotyczących prostych w szkole podstawowej i średniej.